Erwartungswert bei 4 Glasperlen

03.08.2021, 13:05

Egaus

Erwartungswert bei 4 Glasperlen

Hallo,
in einer Urne befinden sich 4 verschiedenfarbige(schwarz, rot, gelb, blau) Perlen. Bei jeder Ziehung werden je 2 Perlen gezogen. Die zuerst gezogene wird mit einer Ersatzperle ausgetauscht, welche dieselben Merkmale hat, wie die Zweitgezogene. Es sind genügend Perlen da für den Austausch. Wie oft muss man je 2 Perlen ziehen, bis alle 4 Perlen die gleiche Farbe haben? Gesucht wird der Erwartungswert. Kann mir jemand helfen? Wie bestimmt man die Zufallsvariable und die Wahrscheinlichkeiten? Beispiel: Erste Ziehung: rot, blau. Die rote Perle wird durch eine blaue ersetzt. Bei der nächsten Ziehung befinden sich 2 blaue ,eine schwarze und eine gelbe Perle in der Urne.
Grüße, Egaus

03.08.2021, 14:16

Huggy

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RE: Erwartungswert bei 4 Glasperlen
Es gibt 5 Konfigurationen:

$\begin{eqnarray*} K_1=(1,1,1,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_2=(2,1,1,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_3=(2,2,0,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_4=(3,1,0,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_5=(4,0,0,0) \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ hat man von jeder Farbe eine Perle. Bei $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ hat man von einer Farbe 2 Perlen, von zwei anderen Farben je eine Perle und von einer Farbe keine Perle. Es soll nicht darauf ankommen, von welcher Farbe man 2 Perlen hat usw. $\begin{eqnarray*} K_5 \end{eqnarray*}$ ist die absorbierende Zielkonfiguration.

Es sei $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ der Erwartungswert der Zahl der Ziehungen, um von der Konfiguration $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ in die Konfiguration $\begin{eqnarray*} K_5 \end{eqnarray*}$ zu kommen. Es ist $\begin{eqnarray*} n_5=0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt bestimmt man für $\begin{eqnarray*} i =1, \ldots, 4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} j=1, \ldots, 5 \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_{ij} \end{eqnarray*}$ , mit denen man von der Konfiguration $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ in die Konfiguration $\begin{eqnarray*} K_j \end{eqnarray*}$ kommt. Man hat dann für $\begin{eqnarray*} i =1, \ldots, 4 \end{eqnarray*}$ die Gleichungen

$\begin{eqnarray*} n_i=1+\sum_{j=1}^5 p_{ij} n_j \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist zu addieren, weil es ja eine Ziehung braucht, um zur nächsten Konfiguration zu kommen, wobei das unter Umständen auch dieselbe Konfiguration sein kann. Die Lösung des Gleichungssystems ergibt einem die $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ und insbesondere $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ .

04.08.2021, 08:42

Egaus

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Erwartungswert bei 4 Glaskugeln
Danke Huggy,
Leider komme ich nicht weiter...Habe meine Kenntnisse in Stochastik wohl überschätzt.
n1=1+p11*n1+p12*n1+p13*n1+p14*n1
wie komme ich weiter?
Egaus

04.08.2021, 09:12

Huggy

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RE: Erwartungswert bei 4 Glaskugeln
Zunächst mal hast du meine Formel für $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ nicht korrekt umgesetzt. Korrekt ist

$\begin{eqnarray*} n_1=1+p_{11}n_1+p_{12}n_2+p_{13}n_3+p_{14}n_4+p_{15}n_5 \end{eqnarray*}$

Als erstes sind die Übergangswahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} p_{ij} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Von $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ gelangt man immer nach $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ . Es ist also

$\begin{eqnarray*} p_{12}=1 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} p_{1j}=0 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} j \neq 2 \end{eqnarray*}$ .

Damit lautet die Gleichung für $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_1=1+n_2 \end{eqnarray*}$

Jetzt bestimme mal die übrigen Übergangswahrscheinlichkeiten und stelle dann damit die Gleichungen für übrigen $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ auf.

05.08.2021, 20:13

HAL 9000

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Traurig, dass eine so glänzende Vorarbeit von Huggy hier zu "verhungern" droht...

@Egaus (falls du noch da bist)

Klemmt es bei der Berechnung der $\begin{eqnarray*} p_{ij} \end{eqnarray*}$ ? Dabei geht es im wesentlichen um schlichtes Abzählen, wie viele der jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{4\cdot 3}{2} \end{eqnarray*}$ Paarziehungen (mit Reihenfolge) pro Zustand $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ in jeweils da noch mögliche $\begin{eqnarray*} K_j \end{eqnarray*}$ führen (evtl. auch mit i=j).

Vielleicht ein kleiner Anschub in dieser Richtung: Es führen von $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ ausgehend genau 6 Varianten wieder in $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ , aber aus verschiedenen Gründen:
a) Beide Kugeln gleichfarbig: 2 Varianten (wg. der Reihenfolge)
b) Erste Kugel stammt von der doppelt vorkommenden Farbe, die zweite nicht: 2*2=4 Varianten
Ergibt $\begin{eqnarray*} p_{22} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Und so muss man sich Tippeltappeltour durch die Zustände kämpfen. Aber die Sache und auch der Aufwand hier sind noch ziemlich überschaubar.

P.S.: Da der Begriff bisher ungenannt im Raum schwebt (wobei Huggy sicher dran gedacht hat): Das ganze ist hier natürlich eine homogene Markov-Kette mit dem einen absorbierenden Zustand $\begin{eqnarray*} K_5 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

05.08.2021, 21:34

Egaus

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Erwartungswert bei 4 Glasperlen
ja, ich bin noch da!
Wie wird p23 und p34 ermittelt? Nach welcher Formel? Ich brauch mehr Anschub. In die von dir bestimmten Richtung.
Egaus

06.08.2021, 07:31

Huggy

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RE: Erwartungswert bei 4 Glasperlen

Zitat:

Original von Egaus
Nach welcher Formel?

Es gibt keine Formel. Du musst einfach die Ziehungen zählen, die von $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ , bzw. nach $\begin{eqnarray*} K_3 \end{eqnarray*}$ bzw. nach $\begin{eqnarray*} K_4 \end{eqnarray*}$ führen. Die Arbeit musst du dir schon machen. Wie der Volksmund sagt: Ohne Fleiß kein Preis.

Man kann das gruppenweise machen, wie HAL dir das vorgeführt hat. Wenn dir dazu der Überblick fehlt, schreibe alle 12 möglichen Ziehungen explizit auf. Damit es anschaulicher wird, kannst du dazu eine konkrete Farbbelegung hernehmen. Nimm z. B. für die 4 Glasperlen $\begin{eqnarray*} G_i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ die Farben $\begin{eqnarray*} G_1 = s, G_2=s, G_3=r,G_4=g \end{eqnarray*}$ . Die Ziehung $\begin{eqnarray*} (G_2,G_4) \end{eqnarray*}$ wäre dann, man zieht zuerst die zweite schwarze Perle, dann die gelbe Perle. Bei $\begin{eqnarray*} (G_3,G_1) \end{eqnarray*}$ zieht man zuerst die rote Perle und dann die erste schwarze Perle.

Jetzt mach mal. Anschließend dann dasselbe für die Ausgangskonfigurationen $\begin{eqnarray*} K_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_4 \end{eqnarray*}$ .

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