Distanz von Mengen |
05.08.2021, 01:29 | Boris2001 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Distanz von Mengen Es sei (M , d) ein metrischer Raum. Für A ? M mit A nicht leer und x ? M bezeichne dist(x,A) := inf{d(x,a) : a ? A} den Abstand von x zu A. Beweisen Sie die folgenden Aussagen: (a) Sind x, y ? M und r := d(x, y)/2, so gilt dist(x,Ur(y)) ? r. (b) Sind l ? Nund A1,A2,...,A_l nicht-leere Teilmengen von M sowie x ? M, so gilt dist(x,Vereinigung der A_i)=min dist(x,A_k) dist x, Ak = mindist(x,Ak). Meine Ideen: Bei der a) habe ich mir gedacht, dass man das eventuell mit der dreiecksungleichung abschätzen, komme aber nicht so richtig weiter? |
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05.08.2021, 10:20 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei a) bist du mit der Dreiecksungleichung auf der richtigen Spur. Die Distanz von zu ist als Infimum aller mit definiert. Wenn behauptet wird, daß dieses Infimum ist, dann ist das äquivalent zu für alle Genau das ist also zu zeigen. Jetzt wende auf durch Einschieben von die Dreiecksungleichung an, beachte, was du über aufgrund der Lage von weißt, und verwende die Definition von . |
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05.08.2021, 12:47 | Boris01 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Damit ergibt sich also Wie kann ich jetzt die b) lösen? Willkommen im Matheboard! Du bist nun zweimal angemeldet, Boris2001 wird daher demnächst gelöscht. Viele Grüße Steffen |
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05.08.2021, 14:05 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für zwei Teilmengen der reellen Zahlen gilt Heuristisch: Durch Hinzunahme von Elementen zu einer Menge kann das Infimum höchstens kleiner werden, aber niemals oberhalb der hinzugefügten Elemente liegen. Wenn du es genauer haben willst, siehe zum Beispiel hier. Der dortige Beweis für das Supremum einer Vereinigung kann für das Infimum umgeschrieben werden. |
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