Parameter-Eliminierung aus der Parameterform von Epizykloid-Kurven

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Eldar Auf diesen Beitrag antworten »
Parameter-Eliminierung aus der Parameterform von Epizykloid-Kurven
Ich habe eine (durchaus handhabbare) Parameterform von Kurven, die Epizykloide darstellen:





Ziel der Eliminierung des Parameter ist es, eine allgemeine kartesische Form der Kurven (also eine Gleichung mit den Variablen ) zu bekommen. Um zu illustrieren, was der Parameter macht, habe ich ein paar Schaubilder erzeugt.

Der einzige kniffliche Teil sind die Terme und , die man mithilfe des Tschebyschow-Polynoms in "sortenreine" Terme bestehend aus und umwandeln kann.

Um mir einen Überblick zu verschaffen, wie die kartesischen Formen aussehen, habe ich für die entsprechenden Gleichungen erzeugt:

  • Für haben wir
  • Für haben wir
  • Für haben wir
  • Für haben wir


Schreibt man sich die Koeffizienten in eine -mal- Matrix auf, so lässt sich ein gewisses Muster erkennen, wie die Koeffizienten beschaffen sind. Eine Verallgemeinerung anhand des Parameters ist mir noch nicht gelungen.

Was habe ich noch probiert?
Lasst uns folgende Substitution vornehmen: . Dann lässt sich folgendes Gleichungssystem aufstellen und versuchen, die Variablen zu eliminieren:







Anmerkung: die letzte Gleichung des Gleichungssystems findet man auf der Wikipedia-Seite zum Tschebyschow-Polynom.

Habe es (leider ohne Erfolg) in Maxima CAS versucht mittels:
load(grobner);
poly_buchberger([s^2+c^2-1,s2^2+c2^2-1,(a*c+c2)/(1+a)-x,(a*s+s2)/(1+a)-y,((c+(c^2-1)^(0.5))^a+(c-(c^2-1)^(0.5))^a)/2-c2],[c,s,c2,s2,x,y]);

Ich denke, man kann eine allgemeine kartesische Form herleiten, mir gehen nur langsam die Ideen aus. Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen
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