Konfidenzintervall und Varianz

18.09.2021, 20:29

BigBaby31

Konfidenzintervall und Varianz

Hey Leute habe hier gerade Probleme bei der Berechnung bei der
Stichprobenvarianz ?

Was ist da mein xi?

Soll ich das jetzt 39 mal durchführen oder wie?

19.09.2021, 08:16

Huggy

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RE: Konfidenzintervall und Varianz

Zitat:

Original von BigBaby31
Was ist da mein xi?

Soll ich das jetzt 39 mal durchführen oder wie?

Im Prinzip kannst du die Varianz zwar mit deiner ersten Formel berechnen. Dann musst du in die Formel aber alle 40 Werte für $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ eingeben. Die Summe läuft dann bis 40, nicht bis 39. Einfacher ist es aber, gleiche Summanden mit ihrer Häufigkeit zusammenzufassen, wie du es beim Mittelwert gemacht hast. Auch sollte man den Mittelwert mit etwas mehr Dezimalen angeben.

19.09.2021, 10:12

BigBaby33333

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Wie kann ich das besser zusammenfassen?
Da bin ich wieder einmal überlastet Big Laugh

19.09.2021, 10:40

Huggy

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$\begin{eqnarray*} s^2=\frac 1 {39} \left ( 12(4.5-\bar x)^2+12(4.45-\bar x)^2+16(4.55-\bar x)^2 \right ) \end{eqnarray*}$

Erkennst du jetzt die Ähnlichkeit zu deiner Berechnung von $\begin{eqnarray*} \bar x \end{eqnarray*}$ .

19.09.2021, 11:05

BigBaby31

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$\begin{eqnarray*} s^2=\frac 1 {39} \left ( 12(4.5-\bar x)^2+12(4.45-\bar x)^2+16(4.55-\bar x)^2 \right )= 0,0018 \end{eqnarray*}$

Kann ich diese Formel für das Konfidenzintervall nutzen?

19.09.2021, 11:19

Huggy

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Zitat:

Original von BigBaby31
Kann ich diese Formel für das Konfidenzintervall nutzen?

Ja.

Aber du solltest auch $\begin{eqnarray*} s^2 \end{eqnarray*}$ mit etwas mehr Dezimalen angeben. Mit 3 oder 4 signifikanten Dezimalen sollte man mindestens rechnen. Führende Nullen sind keine signifikanten Dezimalen.

19.09.2021, 11:27

BigBaby31

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Ich bin mir nicht sicher für alpha

1-99% = 1-0.99 = 0.01 = alpha ?
Passt ?

19.09.2021, 12:17

Huggy

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Passt.

19.09.2021, 12:37

BigBaby31

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Falls das auch richtig ist ,hast du Tipps wie ich das jetzt genau mit der b) mit Tscheby machen soll?

19.09.2021, 12:45

Huggy

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Bringen wir erstmal das zu Ende: Weshalb quadrierst du $\begin{eqnarray*} 0.0018 \end{eqnarray*}$ unter der Wurzel?

19.09.2021, 12:54

BigBaby31

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Stimmt blöd wieder Big Laugh

$\begin{eqnarray*} I(X_1,....,X40) = [ 4.48683, 4.523165 ] \end{eqnarray*}$

Besser die Rechnung daher zu posten

Habe auch schon mal die Tschebyschev Gleichung raus gesucht ,aber echt Probleme bei Anwendung?

19.09.2021, 13:04

Huggy

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Zu Tschebyscheff: Für welche Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sollte man die Ungleichung anwenden? Das ergibt sich aus der in b) gestellten Frage.

19.09.2021, 13:24

BigBaby31

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Die zufallsvariable wird gesucht für diese am Anfang der Aufgabe gegebenen 4.5 cm ?

So würde in etwa mein erster Schritt aussehen ?

19.09.2021, 13:25

BigBaby31

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Die zufallsvariable wird gesucht für diese am Anfang der Aufgabe gegebenen 4.5 cm ?

$\begin{eqnarray*} P(|X-4.501| \geq c ) \leq \frac{0.01}{c^2} , c > 0 \end{eqnarray*}$

So würde in etwa mein erster Schritt aussehen ?

19.09.2021, 13:50

Huggy

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Die 4.5 cm sind eine Zahl und keine Zufallsvariable. Wir haben eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ für den Durchmesser der Golfbälle. Von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist in b) der Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X)=4.501 \end{eqnarray*}$ und die Varianz $\begin{eqnarray*} V(X)=0.001 \end{eqnarray*}$ bekannt. Es macht aber keinen Sinn, die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zu betrachten, denn gefragt ist nach der Genauigkeit des Mittelwerts einer Stichprobe vom Umfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Eine Stichprobe vom Umfang $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wird repräsentiert durch $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ voneinander unabhängige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ , die alle dieselbe Verteilung wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ haben. Ihr Mittelwert ist

$\begin{eqnarray*} Y =\bar X=\frac 1 n \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$

Man sollte also die T-Ungleichung für $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ betrachten:

$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-E(Y)|)\geq c \right ) \leq \frac {V(Y)}{c^2} \end{eqnarray*}$

Damit ergeben sich zunächst 2 Fragen: Was ist $\begin{eqnarray*} E(Y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(Y) \end{eqnarray*}$ ?

19.09.2021, 14:09

BigBaby31

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hmm

E(Y) = 4.501

und auch V (Y) = 0.001

Bleibt das gleiche wie bei X oder ?

19.09.2021, 14:19

Huggy

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Das erste ist richtig, das zweite nicht. Es ist

$\begin{eqnarray*} V(Y)=\frac {V(X)}{n}=\frac {0.001}{n} \end{eqnarray*}$

Die Varianz des Mittelwerts wird um so kleiner, je größer die Stichprobe ist. Deshalb erhöht sich die Genauigkeit des Mittelwerts, wenn man den Umfang der Stichprobe erhöht. Wir haben also jetzt:

$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-4.501|)\geq c \right ) \leq \frac {0.001}{n c^2} \end{eqnarray*}$

Welches $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ sollte man betrachten?

19.09.2021, 14:38

BigBaby31

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n= 40 auch?

$\begin{eqnarray*} V(Y)=\frac {V(X)}{n}=\frac {0.001}{40} = 0.000025 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-4.501|)\geq c \right ) \leq \frac {0.001}{n c^2} \end{eqnarray*}$

soll ich für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ 0 0.005 einsetzen ?

19.09.2021, 14:46

Huggy

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Zitat:

Original von BigBaby31
n= 40 auch?

Das ist doch Unfug. Liest du überhaupt den Aufgabentext??? Bei b) ist doch ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gesucht, das die gewünschte Genauigkeit für den Mittelwert liefert. Da kann nicht einfach der Wert aus a) eingesetzt werden. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ muss berechnet werden. Das ist der letzte Schritt bei b).

Zitat:

soll ich für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ 0 0.005 einsetzen ?

Richtig. Für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ setzen wir die gewünschte Genauigkeit ein. Wie lautet die T-Ungleichung jetzt und wie bringen wir das endgültig mit der Frage von b) in Verbindung?

19.09.2021, 14:54

BigBaby31

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$\begin{eqnarray*} V(Y)=\frac {V(X)}{n}=\frac {0.001}{40} = 0.000025 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-4.501|)\geq 0.005 \right ) \leq \frac {0.001}{n c^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n*P\left (|Y-4.501|)\geq 0.005 \right ) \leq \frac {0.001}{ c^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt den ganzen P term durch den rechten Ausdruck teilen`

19.09.2021, 15:12

Huggy

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Zitat:

Original von BigBaby31
$\begin{eqnarray*} V(Y)=\frac {V(X)}{n}=\frac {0.001}{40} = 0.000025 \end{eqnarray*}$

Was sollen den hier schon wieder die 40??? Ich wiederhole: $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ soll erst berechnet werden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-4.501|)\geq 0.005 \right ) \leq \frac {0.001}{n c^2} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. Auf der rechten Seite ist allerdings auch noch der Wert für $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ einzusetzen. Gewünscht ist in b):

$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-4.501|)\leq 0.005 \right ) \geq 0.99 \end{eqnarray*}$

Das ist identisch zu

$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-4.501|)\geq 0.005 \right ) \leq 0.01 \end{eqnarray*}$

Es sollte also gelten

$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-4.501|)\geq 0.005 \right ) \leq \frac {0.001}{n c^2}\leq 0.01 \end{eqnarray*}$

Da ist, wie schon gesagt, in der Mitte noch $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ einzusetzen. Danach kann aus der rechten Ungleichung die Mindestzahl für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

19.09.2021, 15:24

BigBaby31

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$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-4.501|)\geq 0.005 \right ) \leq \frac {40}{n }\leq 0.01 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-4.501|)\geq 0.005 \right ) \leq \frac {40}{0.01}\leq n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P\left (|Y-4.501|)\geq 0.005 \right ) \leq 4000\leq n \end{eqnarray*}$

Können diese Werte stimmen?

das ist die untere Schranke ?

19.09.2021, 15:33

Huggy

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$\begin{eqnarray*} n \geq 4000 \end{eqnarray*}$ ist richtig. Allerdings gilt die T-Ungleichung für beliebige Verteilungen, solange deren Varianz existiert. Für eine konkrete Verteilung ist das Ergebnis meist deutlich zu hoch. Würde man berücksichtigen, dass hier eine Normalverteilung vorliegt, kann man zeigen, dass ein deutlich kleineres $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für die gewünschte Genauigkeit und die gewünschte Wahrscheinlichkeit ausreicht. In der Aufgabe soll aber die T-Ungleichung benutzt werden.

19.09.2021, 15:39

BigBaby31

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Huggy im Prinzip hat man doch statt dem X einfach das Y in die Formel eingesetzt und ausgerechnet ?

Muss man das immer bei solchen Aufgaben machen?

19.09.2021, 15:42

Huggy

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Das hängt natürlich von der Fragestellung ab? Wenn die Frage der hier gestellten Frage gleicht, ist natürlich auch der Rechenweg gleich.

19.09.2021, 15:43

BigBaby31

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danke