Formel von Moivre-Binet mittels vollst. Induktion

01.10.2021, 12:02

Malcang

Formel von Moivre-Binet mittels vollst. Induktion

Hallo zusammen smile

ich möchte die Formel von Moivre-Binet mit vollständiger Induktion beweisen.
Die Formel ist
[attach]53739[/attach].
Im Induktionsschritt brauche ich ja den Zusammenhang $\begin{eqnarray*} f_{n-1} + f_n = f_{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Meine Frage ist: Muss ich nun im Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ betrachten?
Wenn ich nur $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ betrachte, wäre $\begin{eqnarray*} f_{n-1} \end{eqnarray*}$ ja nicht definiert.
Wenn ich nur $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ betrachte, habe ich zwar $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} f_{n-1} \end{eqnarray*}$ .
Sind meine Gedanken korrekt?

01.10.2021, 12:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von ichwarneu
Meine Frage ist: Muss ich nun im Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ betrachten?

Ja. Damit sich das ganze auch formal korrekt in das Prinzip der vollständigen Induktion ("Beweise Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} A(0) \end{eqnarray*}$ sowie für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 0 \end{eqnarray*}$ den Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} A(n)\Rightarrow A(n+1) \end{eqnarray*}$ ") einordnet, wendet man dieses Prinzip NICHT auf die Aussage

$\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ : Es gilt $\begin{eqnarray*} f_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\Phi^n - \Psi^n\right) \end{eqnarray*}$ .

an, sondern auf

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(n) \end{eqnarray*}$ : Es gilt $\begin{eqnarray*} f_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\Phi^n - \Psi^n\right) \end{eqnarray*}$ UND (!) $\begin{eqnarray*} f_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\Phi^{n+1} - \Psi^{n+1}\right) \end{eqnarray*}$ .

an. Was dann u.a. bedeutet, dass im Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} A(0) \end{eqnarray*}$ die Formel sowohl für $\begin{eqnarray*} f_0 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen ist.

01.10.2021, 12:47

Malcang

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HAL 9000, vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Ich werde den Beweis dann nochmal überarbeiten und würde ihn gerne hier noch einmal zeigen. Ich setze mich gerade daran und präsentiere ihn im Anschluss nochmal hier.

01.10.2021, 13:10

Malcang

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Ich habe das nochmal überarbeitet und würde gerne die Definition sowie den Beweis hier vorstellen.
Da ich das extern getext habe, möchte ich das hier als Screenshot bereitstellen. Ich hoffe das ist ok.

Mir fällt gerade auf, dass die Indizes in der Definition ja andere sind als im Beweis. Ist das trotzdem ok?

Vielen Dank für die Hilfe!

[attach]53740[/attach]
[attach]53741[/attach]

01.10.2021, 13:22

HAL 9000

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Genau. Rein formal ist im Induktionsschritt die komplette Induktionsbehauptung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} A(n+1) \end{eqnarray*}$ : Es gilt $\begin{eqnarray*} f_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\Phi^{n+1} - \Psi^{n+1}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{n+2} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\Phi^{n+2} - \Psi^{n+2}\right) \end{eqnarray*}$ .

nachzuweisen, wobei deren erster Teil $\begin{eqnarray*} f_{n+1}=\ldots \end{eqnarray*}$ aber direkt aus der Induktionsvoraussetzung (IV) übernommen werden kann, d.h., da ist also nicht wirklich was zu tun. Augenzwinkern