(2n)!<n^(2n) Induktionsbeweis

19.10.2021, 22:22	Lupram	Auf diesen Beitrag antworten »
(2n)!<n^(2n) Induktionsbeweis Meine Frage: Welche werte kann n annehmen: (2n)! < n^(2n)? (Tipp: Induktionsbeweis) Meine Ideen: Induktionsbasis: n=3 (2n+2)! = (2n)! (2n+1)(2n+2) < n^(2n) (2n+1)(2n+2) Weiter weiß ich nicht mehr
20.10.2021, 06:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt müßtest du noch zeigen: $\begin{align} n^{2n} (2n+1)(2n+2) \leq (n+1)^{2n+2} \end{align}$ Das bekommt man äquivalent umgeformt zu $\begin{align} \frac{2(2n+1)}{n+1} \leq \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2n} \end{align}$ $\begin{align} 2 \left( 2 - \frac{1}{n+1} \right) \leq \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right)^2 \end{align}$ In der letzten Ungleichung könnte man die beiden Seiten im Hinblick auf Monotonie und Grenzwert getrennt betrachten und aus den Ergebnissen Schlüsse ziehen.
20.10.2021, 07:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann auch $\begin{eqnarray} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \geq 2 \end{eqnarray}$ mit Bernoulli-Ungleichung oder Binomischen Satz nachweisen. Der "Rest" $\begin{eqnarray} 2 \left( 2 - \frac{1}{n+1} \right) \leq 4 \end{eqnarray}$ ist kaum der Rede wert.
20.10.2021, 07:31	G201021	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann die Umformung nicht nachvollziehen. Wie wurde vorgegangen?
20.10.2021, 07:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter Einbeziehung der Induktionsvoraussetzung (IV) kann man im Induktionsschritt $\begin{eqnarray} n\to n+1 \end{eqnarray}$ zunächst die Ungleichung $\begin{eqnarray} (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)\cdot (2n)! \stackrel{IV}{<} (2n+2)(2n+1)\cdot n^{2n} \end{eqnarray}$ aufstellen. Hinreichend zum Beweis der Induktionsbehauptung $\begin{eqnarray} (2n+2)! < (n+1)^{2n+2} \end{eqnarray}$ wäre somit der Nachweis von $\begin{eqnarray} (2n+2)(2n+1)\cdot n^{2n} \leq (n+1)^{2n+2} \end{eqnarray}$ , wie von Leopold umgeformt ist das äquivalent zu $\begin{eqnarray} 2\left(2-\frac{1}{n+1}\right)\leq \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n} \end{eqnarray}$ .
20.10.2021, 07:54	G201021	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber ich verstehe nicht, wo die Brüche herkommen. Könntest du mir das bitte ausführlicher darstellen? Warum ist das äquivalent? Was sind die Zwischenschritte?
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20.10.2021, 11:29	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie verwechsle ich dich mit jemand, der auch die Angewohnheit hat, sich per Datum zu benennen, aber eine viel bessere mathematische Auffassungsgabe hat... Also dann doch ganz, ganz langsam: Die Ungleichung $\begin{eqnarray} (2n+2)(2n+1)\cdot n^{2n} \leq (n+1)^{2n+2} \end{eqnarray}$ wird durch $\begin{eqnarray} (n+1)^2 \end{eqnarray}$ dividiert, dabei wird links $\begin{eqnarray} (2n+2) = 2(n+1) \end{eqnarray}$ sowie rechts $\begin{eqnarray} (n+1)^{2n+2} = (n+1)^{2n}\cdot (n+1)^2 \end{eqnarray}$ genutzt: $\begin{eqnarray} \frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}\cdot n^{2n} \leq (n+1)^{2n} \end{eqnarray}$ So, jetzt links einmal $\begin{eqnarray} (n+1) \end{eqnarray}$ gekürzt, und dann die ganze Gleichung durch $\begin{eqnarray} n^{2n} \end{eqnarray}$ dividiert: $\begin{eqnarray} 2\cdot\frac{(2n+1)}{(n+1)} \leq \frac{(n+1)^{2n}}{n^{2n}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n} \end{eqnarray}$ , dabei wurde im letzten Schritt rechts die Potenzregel $\begin{eqnarray} \frac{a^c}{b^c} = \left(\frac{a}{b}\right)^c \end{eqnarray}$ genutzt. Die weiteren Umformungen basieren auf $\begin{eqnarray} \frac{(2n+1)}{(n+1)} = \frac{(2n+2)-1}{(n+1)} = \frac{2(n+1)}{(n+1)} - \frac{1}{(n+1)} = 2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \frac{n+1}{n} = \frac{n}{n} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Jetzt sollte es aber mit der Aufdröselung bis in die allerkleinsten Einzelteile reichen!!!
20.10.2021, 12:06	G201021	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank.

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