Stetigkeit

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aylinxx Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit
Wir sollen die Menge aller Punkte bestimmen, in denen die Funktion stetig ist.



Das Thema ist irgendwie overhead.


Ideen: Zuallererst würde ich sagen, dass wenn , dann ist die Funktion als Komposition stetiger Funktion stetig.

Es bleibt also nur der Fall zu überprüfen, wenn ist.

Ich weiß echt nicht, wie ich das machen soll. Wenn es eindimensional wäre, dann wär das kein Problem. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit
Zitat:
Original von aylinxx
Ideen: Zuallererst würde ich sagen, dass wenn , dann ist die Funktion als Komposition stetiger Funktion stetig.

Richtig.

Zitat:
Original von aylinxx
Es bleibt also nur der Fall zu überprüfen, wenn ist.

In Hinblick auf diesen Fall versuch doch mal, ob du für festes den Grenzwert bestimmen kannst. Und wenn das nicht geht bzw. der nicht existiert, evtl. auch nur die links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte bzw. . Wenn sich einer von denen von unterscheidet, dann weiß man sicher, dass dort im Punkt keine Stetigkeit vorliegt.

Ein Sonderfall ist der Ursprung , dort benötigt man noch eine Zusatzüberlegung.
aylinxx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort. Ich habe mir jetzt einige Gedanken dazu gemacht. Ich hoffe, dass ich jetzt kein Stuss schreibe.

Sei fest und beliebig. Wir überprüfen nun, ob links und rechtsseitiger Grenzwert gleich sind:

Es scheitert an , wenn man sich von rechts dem nähert, dann ist der Wert im Nenner auf jeden Fall negativ und wenn man sich von links dem nähert, ist dieser positiv, somit hat man für den Grenzwert: . Das bedeutet, dass der Grenzwert , unter den gegebenen Voraussetzungen nicht existieren kann. Wenn ich keinen Denkfehler habe, würde ich sagen, dass der Grenzwert nur existiert, wenn anstatt ist, sondern da steht.


Könntest du mir noch einen Tipp geben, wenn ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Klartext: Es ist sowie .

Im Fall haben wir damit die Unstetigkeit im Punkt nachgewiesen; für greift dieses Argument jedoch erkennbar nicht.


ist daher extra zu betrachten: Aufgrund des arctan-Wertebereichs gilt ja auf jeden Fall die Abschätzung . Was bedeutet das für ?
aylinxx Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gilt nach dem Sandwich-Prinzip, dass für gegen null geht. Somit hätte man für den Sonderfall Stetigkeit. verwirrt


Somit hat man für und Stetigkeit. verwirrt

Ist das soweit richtig? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Freude
 
 
aylinxx Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank. Wink
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