Integralabschätzung

Neue Frage »

31.10.2021, 12:24	Bomschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralabschätzung Hallo ich hab eine kleine Aufgabe zu lösen und hänge dabei, vielleicht kann mir ja jemand helfen: Ich habe eine Folge gegeben: $\begin{eqnarray} a_{n} = \int_{0}^{1} \! x^nsin(pi x) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Nun soll ich mithilfe geeigneter Abschätzungen des Integranden folgende Einschließung nachweisen: $\begin{eqnarray} 0\leq a_{n} \leq \frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ Wieso die Folge größer/gleich 0 sein muss, hab ich bereits gezeigt, nun fehlt mir jedoch noch die obere Abschätzung, hat dafür jemand eine Idee?
31.10.2021, 12:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Dreiecksungleichung für Integrale 2. Unter dem Integral die Verträglichkeit des Betrags mit der Multiplikation. 3. Beschränktheit der Sinusfunktion. 4. Integration einer Potenz. Da der Integrand und seine Faktoren im Integrationsintervall nichtnegativ sind, kann man auf 1. und 2. sogar verzichten.
31.10.2021, 12:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine (zumindest für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ ) bessere obere Schranke ist übrigens $\begin{eqnarray} a_n < \frac{\pi}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray}$ , beweisbar über partielle Integration.
31.10.2021, 14:34	Bomschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank für eure Hilfe, die Abschätzung nach oben hab ich nun auch bewiesen (manchmal sieht man echt den Wald vor lauter Bäumen nicht ). Apropos partielle Integration, ich soll weiterhin durch zweimalige partielle Integration zeigen, dass die Folgenglieder $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ folgender Rekursionsvorschrift genügen: $\begin{eqnarray} a_{n+2}= \frac{1}{\pi }- \frac{(n+1)(n+2)}{\pi^{2} } a_{n} \end{eqnarray*}$ Ich spiele jetzt schon ziemlich lang mit der partiellen Integration an dieser Aufgabe herum, aber irgendwie gelingt mir der Nachweis nicht.
31.10.2021, 14:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es ist offenkundig eine zweistufige partielle Integration vonnöten, d.h. $\begin{eqnarray} \int x^{n+2}\sin(\pi x) ~ \dd x ~\longrightarrow~ \int x^{n+1}\cos(\pi x) ~ \dd x ~\longrightarrow~ \int x^n\sin(\pi x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ . Wirklich keine Ahnung, wie man das bewerkstelligen kann?
31.10.2021, 15:45	Bomschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also den hinteren Teil der neuen Rekursionsvorschrift ( $\begin{eqnarray} - \frac{(n+1)(n+2)}{\pi^{2} }a_{n} \end{eqnarray}$ ) erhalte ich durch partielle Integration. Aber meine "Vorfaktoren" ergeben nicht $\begin{eqnarray} \frac{1}{\pi } \end{eqnarray}$ . Ich erhalte: $\begin{eqnarray} x^{n+2}\frac{-cos(pix)}{pi}-(n+2)x^{n+1}\frac{-sin(pix)}{pi^{2} } - \frac{(n+1)(n+2)}{\pi^{2} }a_{n} \end{eqnarray*}$ Irgendwo hab ich scheinbar einen Denk-/Rechenfehler...
Anzeige

31.10.2021, 16:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt schon, dass diese partielle Integration hier auf ein bestimmtes (!) Integral angewandt wird?
31.10.2021, 16:16	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} a_{n+2} = \int_0^1 x^{n+2} \sin(\pi x) ~ \dd x \ = \ \left. \left( - \frac{1}{\pi} x^{n+2} \cos(\pi x) \right) \, \right\|_{\, 0}^{\, 1} + \frac{n+2}{\pi} \int_0^1 x^{n+1} \cos(\pi x) ~ \dd x \end{align}$ $\begin{align} = \ \frac{1}{\pi} + \frac{n+2}{\pi} \int_0^1 x^{n+1} \cos(\pi x) ~ \dd x \end{align}$ Jetzt in einer neuen Rechnung $\begin{align} \int_0^1 x^{n+1} \cos(\pi x) ~ \dd x \end{align}$ bestimmen und dann in der Hauptrechnung einsetzen.
31.10.2021, 16:25	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Als nächste Teilaufgabe würde mir einfallen: Bestimmen Sie auf Basis dieser Rekursion numerisch den Wert $\begin{eqnarray} a_{40} \end{eqnarray}$ (sagen wir mit einem relativen Fehler $\begin{eqnarray} <10^{-5} \end{eqnarray}$ ).
31.10.2021, 17:21	Bomschi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Hilfe, man sollte in der Tat beachten, dass es sich um ein bestimmtes Integral handelt .

Neue Frage »

Antworten »

Integralabschätzung

Verwandte Themen