Erwartungswert eines Maximum-Likelihood-Schätzers berechnen

22.11.2021, 12:37	GreenArrow98	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert eines Maximum-Likelihood-Schätzers berechnen Meine Frage: Hi, ich habe folgende Aufgabe: Aus einem Beutel mit $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Bällen mit den Nummern $\begin{eqnarray} 1,\ldots, N \end{eqnarray}$ werden $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Bälle ohne Zurücklegen gezogen. Bestimmmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ und berechnen Sie $\begin{eqnarray} \mathbb{E}_{N}(T) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Da statistische Modell wollte ich wie folgt konstruieren: $\begin{eqnarray} \Omega=\mathbb{N}^{n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \mathcal{F}=2^{\Omega} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} N\geq n \end{eqnarray}$ soll [/latex]P_{N}[/latex] die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray} \{(x_{1},\ldots,x_{n})\in\{1,\ldots,N\}^n:x_{i}\neq x_{j}\enspace für\enspace i\neq j\} \end{eqnarray}$ sein, das heißt $\begin{eqnarray} P_{N}(x)=(N-n)!/N! \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus dieser Menge. Für $\begin{eqnarray} x\in\{y\in\mathbb{N}^n:y_{i}\neq y_{j}\enspace für\enspace i\neq j\} \end{eqnarray}$ gilt dann für $\begin{eqnarray} N\geq \max\{x_{1},\ldots,x_{n}\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P_{N}(x)=(N-n)!/N! \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} (N-n)!/N! \end{eqnarray}$ streng monoton fallend in $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ist, müsste $\begin{eqnarray} T(x)=\max\{x_{1},\ldots,x_{n}\} \end{eqnarray}$ der Maximum-Likelihood-Schätzer von $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ sein. Beim Erwartungswert habe ich bis jetzt $\begin{eqnarray} \mathbb{E}_{N}(T)=\sum\nolimits_{k=n}^{N}n\cdot\frac{k!\cdot(N-n)!}{(k-n)!\cdot N!} \end{eqnarray}$ . Hier komme ich allerdings nicht weiter.
22.11.2021, 12:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Erwartungswertformel kann ich nicht nachvollziehen. Ich würde so rechnen: $\begin{eqnarray} P\left(T\leq k\right) = \frac{\binom{k}{n}}{\binom{N}{n}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\leq k\leq N \end{eqnarray}$ während für $\begin{eqnarray} k>N \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} P\left(T\leq k\right)=1 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} k<n \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} P(T\leq k)=0 \end{eqnarray}$ gilt. Das ergibt den Erwartungswert $\begin{eqnarray} E_N\left(T\right) = \sum_{k=0}^{\infty} P(T\geq k+1) = N+1 - \sum_{k=n}^N P(T\leq k) = N+1 - \sum_{k=n}^N \frac{\binom{k}{n}}{\binom{N}{n}} = N+1 - \frac{\binom{N+1}{n+1}}{\binom{N}{n}} = N+1 - \frac{N+1}{n+1} = (N+1)\frac{n}{n+1} \end{eqnarray}$ . EDIT: Ah Ok, jetzt verstehe ich erst deinen Summenterm: $\begin{eqnarray} k\cdot P(T=k) = k\cdot \left(P(T\leq k)-P(T\leq k-1)\right) = k\cdot \left(\frac{k!(N-n)!}{(k-n)!N!}-\frac{(k-1)!(N-n)!}{(k-1-n)!N!}\right) = k\cdot \frac{(k-1)!(N-n)!}{(k-n)!N!}(k-(k-n)) = n\cdot \frac{k!(N-n)!}{(k-n)!N!} \end{eqnarray}$ Kommt dann aufs selbe raus wie oben: $\begin{eqnarray} n\cdot \sum_{k=n}^N \frac{k!(N-n)!}{(k-n)!N!} = n\cdot \sum_{k=n}^N \frac{\binom{k}{n}}{\binom{N}{n}}= n\cdot \frac{\binom{N+1}{n+1}}{\binom{N}{n}} = \frac{n(N+1)}{n+1} \end{eqnarray}$ . Dabei habe ich die Pascaldreieck-Identität $\begin{eqnarray} \binom{k+1}{n+1} = \binom{k}{n} + \binom{k}{n+1} \end{eqnarray}$ genutzt, welche dabei hilft die Summe in eine Teleskopsumme zu überführen: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n}^N \binom{k}{n} = \sum_{k=n}^N \left(\binom{k+1}{n+1} - \binom{k}{n+1}\right) = \binom{N+1}{n+1} - \binom{n}{n+1} = \binom{N+1}{n+1} \end{eqnarray}$ .

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