Grenzwert Nachweis

28.11.2021, 20:03	Daxl	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert Nachweis Hallo ich habe ein Problem bei dem Nachweis einer gewissen Konvergenz. Uns ist die Folge $\begin{eqnarray} \left\{ \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{i^k}{n^{k+1}} \right\}_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ gegeben. Der Grenzwert scheint $\begin{eqnarray} \frac{1}{k+1} \end{eqnarray}$ zu sein. Dafür fehlt mir jedoch der Beweis. Man könnte damit beginnen, den Faktor aus der Summe zu ziehen und erhält $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n} i^k \frac{1}{n^{k+1}} \end{eqnarray*}$ . Ich hab nun allerdings keine Idee, wie ich weitermachen soll, um auf den Grenzwert zu kommen?
28.11.2021, 20:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an, es geht um reelle Exponenten $\begin{eqnarray} k>0 \end{eqnarray}$ , womöglich sogar ganzzahlig. Betrachte das Riemann-Integral $\begin{eqnarray} \int\limits_0^n x^k ~ \dd x = \frac{n^{k+1}}{k+1} \end{eqnarray}$ und dessen beidseitige Abschätzung durch Unter- und Obersumme bei einer Intervallaufteilung des Integrationsgebietes in Intervalle der einheitlichen Breite 1 ...
28.11.2021, 22:02	Daxl	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank erstmal für die Antwort, ja k soll eine feste, natürliche Zahl sein. Das hätte ich noch mit dazu schreiben sollen. In unserer Vorlesung hatten wir das Riemann-Integral leider noch nicht, somit weiß ich nicht genau, was mir dieser Hinweis sagen soll. Gibt es noch einen anderen Weg, um den Grenzwert nachzuweisen?
28.11.2021, 22:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du mußt dich um die Potenzsummen $\begin{align} p_k(n) = \sum_{i=1}^n i^k \end{align}$ kümmern. Und für deinen Grenzwert genügt es zu wissen, daß $\begin{align} p_k(n) \end{align}$ ein Polynom vom Grad $\begin{align} k+1 \end{align}$ in $\begin{align} n \end{align}$ ist, dessen Leitkoeffizient $\begin{align} \frac{1}{k+1} \end{align}$ ist. Dieses Wissen muß du dir irgendwo herholen oder etwa durch Induktion beweisen. Siehe zum Beispiel hier.
29.11.2021, 10:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die durch die Integralabschätzung erhaltene Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{i^{k+1}-(i-1)^{k+1}}{k+1} \leq i^k \leq \frac{(i+1)^{k+1}-i^{k+1}}{k+1}\qquad () \end{eqnarray*}$ pro Teilintervall kann man "integralfrei" auch mit der Bernoullischen Ungleichung begründen - aber womöglich ist auch die nicht verfügbar.

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