Konvergenz Polynom geteilt durch Wert

29.11.2021, 18:33

Der_Apfel

Konvergenz Polynom geteilt durch Wert

Hallo,

ich soll für eine Kostenfunktion $\begin{eqnarray*} c_e \end{eqnarray*}$ zeigen, für welches kleinste $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} c_e(j + 1) \leq \alpha \cdot c_e(j) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} c_e(x) = \sum_{i=0}^d a_{ei} \cdot x^i \end{eqnarray*}$

ein Polynom vom Grad d ist.

Ich hab das ganze etwas umgeformt und stehe nun vor:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^d \left( \frac{j + 1}{j} \right)^i \leq \alpha \end{eqnarray*}$

Von da an weiß ich leider nicht mehr weiter. Gibt es so ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2021, 19:34

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RE: Konvergenz Polynom geteilt durch Wert
Soll das für alle natürlichen Zahlen j gelten? verwirrt

Dann hat man es nach deiner Umformung letztlich mit $\begin{eqnarray*} f(r)=\sum_{i=0}^d r^i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq r \leq 2 \end{eqnarray*}$ zu tun. Deren Maximum liegt offenbar am rechten Rand.

29.11.2021, 19:49

Der_Apfel

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$\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ ist eine ganze, positive Zahl und $\begin{eqnarray*} \alpha \geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Dann hat man es nach deiner Umformung

Hm, wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} r \leq 2 \end{eqnarray*}$ ?

Ist das nicht

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^d \left( 1 + \frac{1}{j} \right)^i \leq \alpha \end{eqnarray*}$ ?

Also für große $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ nur minimal kleiner als $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Würde das dann nicht gegen $\begin{eqnarray*} d \cdot 1 \end{eqnarray*}$ konvergieren für $\begin{eqnarray*} j \to \infty \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Achso, jetzt versteh ich deine Schlussfolgerung. Da $\begin{eqnarray*} j \geq 1 \end{eqnarray*}$ wird der Wert in der Klammer höchstens 2.

Sieht für mich nicht so aus, als würde das konvergieren. Kann man trotzdem eine obere Abschätzung machen?

Was ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^d 2^i = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^d \end{eqnarray*}$ ?

Eventuell $\begin{eqnarray*} 2^{d + 1} \end{eqnarray*}$ ?

30.11.2021, 08:44

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Was soll denn da konvergieren? verwirrt

Nochmal meine Frage: Soll die Abschätzung für alle natürlichen j gelten?
Es ist $\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^d2^i=2^{d+1}-1 \end{eqnarray*}$

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