Erwartungswert, Standardabweichung und Kostenfunktion?

03.12.2021, 07:16

MMchen60

Erwartungswert, Standardabweichung und Kostenfunktion?

Hallo liebe Forumsgemeinde,
ich war ja der Meinung, ich wüsste fast alles in diesem Bereich. Aber mit folgender Aufgabe habe ich Null Schimmer. Ist hier vielleicht ein Fan der weiß, wie ich hier muss? (Prüfungsaufgabe Universität Wien)
Eine Firma habe eine quadratische Kostenfunktion der Form
$\begin{eqnarray*} 3000+10X+0,5X^2 \end{eqnarray*}$ , wobei X die Menge an produzierten Gütern bezeichne. Berechnen Sie die erwarteten Kosten des Unternehmens unter der Annahme, dass X eine Zufallsvariable sei mit Erwartungswert 50 und Standardabweichung 4.
Vielen Dank im Voraus.

03.12.2021, 07:21

HAL 9000

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Der Erwartungswert ist linear, daher gilt für den gesuchten Wert $\begin{eqnarray*} E\left(3000 + 10X + 0.5X^2\right) = 3000 + 10\cdot E(X) + 0.5\cdot E\left(X^2\right) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} E(X)=50 \end{eqnarray*}$ ist gegeben, und $\begin{eqnarray*} E\left(X^2\right) \end{eqnarray*}$ kann folgendermaßen berechnet werden: Für die Varianz gilt $\begin{eqnarray*} V(X) = E\left(X^2\right)-\left(E(X)\right)^2 \end{eqnarray*}$ , und die Varianz ist ja das Quadrat der gegebenen Standardabweichung 4...

03.12.2021, 09:09

MMchen60

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Hallo, besten Dank. Habe das jetzt nachgerechnet und auch das Ergebnis bekommen, welches in der Lösung stand.
Hatte noch einen anderen Beitrag gefunden in einem anderen Forum, da wurde gesagt, man müsse das Integral von -\infty bis + \infty von K(X) * irgendwas von Euler oder Gauß dX bilden, was ja händisch nicht so einfach möglich ist, weil das zur Gaußschen Fehlerfunktion führt. Löst man dieses Integral aber per Rechner, kommt dasselbe Ergebnis raus wie in deiner Lösung. Warum macht man das denn so kompliziert, wenn es auch einfach geht?

03.12.2021, 09:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von MMchen60
Warum macht man das denn so kompliziert, wenn es auch einfach geht?

Weiß ich auch nicht. Die obige Lösung von mir macht übrigens keinerlei Annahmen über die konkrete Verteilung, wie etwa Normalverteilung, etc.:

Zum Beispiel führt auch die symmetrische Zweipunktverteilung mit $\begin{eqnarray*} P(X=46) = P(X=54) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ zu Erwartungswert 50 und Standardabweichung 4, und dann auch zu dem selben Resultat für dein $\begin{eqnarray*} E\left(3000 + 10X + 0.5X^2\right) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Man kann sogar sagen: Bei der Aufgabenstellung oben ist eigentlich jede Lösung angreifbar (auch wenn sie das richtige Resultat liefert), welche konkrete Annahmen zur Verteilung macht, welche über die Angaben $\begin{eqnarray*} E(X)=50 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V(X)=4^2 \end{eqnarray*}$ hinausgehen.

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