Konvergenz von Reihen

13.12.2021, 16:37	Fabi99	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen Hallo ich habe eine Aufgabe zur Konvergenz von Reihen und komme bei diesen 2 Reihen irgendwie auf keinen grünen Zweig: a) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{\sqrt{n+1} }{\sqrt{n^{5}+n^{2}- 1 } } \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{7^n}\begin{pmatrix} 3n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Die Reihen sollen auf Konvergenz untersucht werden.
13.12.2021, 17:01	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei a) kannst du vergleichen mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ , bei b) kannst du Stirling nutzen und vergleichen, oder falls die Approximation unbekannt ist, das Quotientenkriterium heranziehen.
13.12.2021, 18:28	Fabi99	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort, ich weiß irgendwie nicht so genau, wie ich bei der a) umformen soll, um dies mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray}$ zu vergleichen
13.12.2021, 19:04	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige $\begin{eqnarray} a_n \sim b_n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a_n=\frac{\sqrt{n+1} }{\sqrt{n^{5}+n^{2}- 1 } } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ , also konkret $\begin{eqnarray} \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1 \end{eqnarray}$ . Siehe dort: https://de.wikipedia.org/wiki/Asymptotische_Analyse
14.12.2021, 09:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Interessant, dass man bei b) den Reihenwert $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \binom{3n}{n} z^n \end{eqnarray}$ im Konvergenzfall $\begin{eqnarray} \|z\|<\frac{4}{27} \end{eqnarray}$ tatsächlich ausrechnen kann. Allerdings gibt das CAS da schon ein ziemliches Monstrum aus, sieht um einiges komplexer aus als das verwandte und noch vergleichsweise harmlose $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} z^n = \frac{1}{\sqrt{1-4z}} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|z\|<\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ .

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