Stetigkeitsbeweis |f(x) - f(y)| < C |x-y|^a

16.12.2021, 13:18	ls.1220	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeitsbeweis \|f(x) - f(y)\| < C \|x-y\|^a Meine Frage: Hallo, ich komme gerade bei einer Aufgabe einfach nicht weiter: Sei D $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R. Sei f : D $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R eine Funktion. Nehmen Sie an, dass es Konstanten C, a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ R+ gibt derart, dass \|f(x) - f(y)\| $\begin{eqnarray} \leq/ \end{eqnarray}$ C\|x - y\|^a für alle x, y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ D gilt. Beweisen Sie, dass die Funktion f stetig ist. Meine Ideen: Wahrscheinlich muss ich hier irgendwie auf das Epsilon-Delta-Kriterium kommen, oder? Also zeigen das gilt: $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ D : $\begin{eqnarray} \forall \epsilon \end{eqnarray}$ > 0 : $\begin{eqnarray} \exists \delta \end{eqnarray}$ > 0 : $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ D : \|x - y\| < $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ \|f(x) - f(y)\| < $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ . Wie komme ich jetzt darauf, dass \|x-y\| nach oben beschränkt werden kann, mit einer Konstante, die nicht von x abhängt?
16.12.2021, 13:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ? gilt, geht doch sonnenklar hervor aus ?? im Zusammenhang mit ???, oder auch ????. Alles klar?????
16.12.2021, 13:42	ls.1220	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es jetzt immer noch klar?
16.12.2021, 18:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeitsbeweis \|f(x) - f(y)\| < C \|x-y\|^a Du kannst die LaTeX-Klammern auch über mehrere Ausdrücke haben. Sauber wäre es so: Sei $\begin{eqnarray} D \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} f : D \to \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Funktion. Nehmen Sie an, dass es Konstanten $\begin{eqnarray} C, \alpha \in \mathbb R^+ \end{eqnarray}$ gibt derart, dass $\begin{eqnarray} \|f(x) - f(y)\| \leq C\|x - y\|^\alpha \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x, y \in D \end{eqnarray}$ gilt. Beweisen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ stetig ist. Deine Idee ist schon einmal gut. Überleg dir mal, dass du leicht beweisen kannst, dass $\begin{eqnarray} \forall y \in D: \forall \epsilon > 0 : \exists \delta > 0: \forall x \in D: \| x-y\|^{\alpha} < \delta \implies \|f(x) - f(y)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ . Das $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ kannst du sogar unabhängig von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ wählen.

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