Minimalpolynom und charakt. Polynom im Beweis der Existenz einer normalen Basis

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Studentu Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom und charakt. Polynom im Beweis der Existenz einer normalen Basis
Hallo, ich habe einen Beweis dafür, dass jede Körpererweiterung eine normale Basis hat, vorliegen, und verstehe darin einen wichtigen Schritt nicht:
Und zwar sei der Frobenius Automorphismus und er werde als -lineare Abbildung aufgefasst. Dann bedeutet die Beziehung , dass die Abbildung annuliert.
Wieso ist das so? Wieso ist nicht die Abbildung, die annuliert?

Weiters steht dann, dass das charakteristische Polynom von dem Minimalpolynom von gleicht und es deshalb einen zyklischen Vektor gibt, d.h., , sodass die -lineare Hülle ist.
Hier frage ich mich, wie das charakteristische Polynom der Abbildung definiert ist? Mir ist nur das charakteristische Polynom einer Matrix bekannt...
Und was ist das für ein Resultat, das die Existenz des zyklischen Vektors bei Gleichheit von charakteristischem Polynom und Minimalpolynom besagt, hat das einen Namen bzw. kann man es irgendwo nachlesen?
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RE: Minimalpolynom und charakt. Polynom im Beweis der Existenz einer normalen Basis
Wegen ist das richtige Polynom.
Das charakteristische Polynom einer linearen Abbildung ist definiert als das charakteristische Polynom ihrer Darstellungsmatrix. Welche Basis man dafür benutzt, ist unerheblich.
Für die Existenz des zyklischen Vektors ist mir kein Beweis eingefallen, ich würde das ganze im Dunstkreis Jordan Normalform verorten, zumal nilpotent ist.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo URL, danke für deine Antwort!
Und entschudligung, dass ich erst jetzt darauf reagiere.

Wieso kann man denn durch ersetzen? Meine Idee: Weil die q-hoch-erste Potenz von x ist und daher die q-hoch-nullte = erste Potenz von x, also x, also id.
Was genau bedeutet es, dass die Abbildung annuliert? Bedeuet es, dass wenn ich als Argument einsetze, Null herauskommt? Also ? Oder umgekehrt, dass, wenn ich in einsetze, dann Null herauskommt?
Und ist es immer so, dass das annulierende Argument die gleiche Form hat wie eine linear abhängige Linearkombination der Potenzen einer Funktion, also z.B. dass wenn ist für eine Funktion f (oder muss f eine spezielle Funktion wie ein Homomorphismus sein?), dann f annuliert?

Für den Satz über den zyklischen Vektor habe ich inzwischen online einen Beweis gefunden. (auf wikiversity.org, kann ich gern verlinken, falls erlaubt)
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ist eine Definition.
Ich kenne die Formulierung anders herum: Die Abbildung annulliert das Polynom und das bedeutet . Es wird also in das Polynom eingesetzt. Formal benutzt man dafür einen Einsetzungshomomorphismus.

Das ist wie beim charakteristischen Polynom einer Matrix . Nach Cayley-Hamilton wird es von der Matrix annulliert:

Der Link zum Beweis würde mich interessieren.

Edit: Allem Anschein nach ist auch die umgekehrte Formulierung gebräuchlich:
Man sagt, das Polynom annulliert die Matrix , falls .

Egal wie herum, eine Matrix, ein Endomorphismus oder allgemeiner ein Element eines Ringes wird in ein Polynom eingesetzt, und dann muss Null dabei heraus kommen.
Studentu Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort URL, damit ist alles geklärt. (:

Hier noch der Link zum Beweis: https://de.wikiversity.org/wiki/Lineare_...nom/Fakt/Beweis

Liebe Grüße
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Danke für den Link smile
 
 
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