Integral mit cos und Wurzel

28.12.2021, 20:30	MoinMeister1	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit cos und Wurzel Ich knobel gerade an einer relativ schweren Aufgabe. $\begin{eqnarray} \int\limits_{-2}^{2} (x^3 cos ( \frac{x}{2}) + \frac{1}{2}) \sqrt{4-x^2} \end{eqnarray}$ Ich weiß, dass das Ergebnis Pi ist (3.14159). Ich scheiter schon an der Stammfunktion in der Wurzel (das Problem ist die Summe und das x². Keine Ahnung wie ich das lösen soll. Vermutlich Substitution mit sinh(x). Laut WolframAlpha kommt da $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \sqrt{4-x^2} x + 2sin-1 \frac{x}{2} + c \end{eqnarray}$ raus. Ich habe keine Ahnung wie man darauf kommt. Und für den ersten Teil soll $\begin{eqnarray} 2(x^2 - 24) x sin( \frac{x}{2} + 12 (x^2 - 8) cos ( \frac{x}{2} ) \frac{x}{2} + c \end{eqnarray}$ rauskommen. Laut Integralrechner ist die Stammfunktion: $\begin{eqnarray} \frac{x\sqrt{4-x^2}}{4} + arcsin( \frac{x}{2}) + C \end{eqnarray}$
28.12.2021, 20:43	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Wert des Integrals kann man fast ablesen. Man braucht dazu keine Stammfunktion. Multipliziere den Integranden aus. Der eine Summand stellt dann eine ungerade Funktion dar, so daß das Integral mit den symmetrischen Integrationsgrenzen verschwindet. Der andere Summand beschreibt einen Halbkreis vom Radius 2, noch mit $\begin{align} \frac{1}{2} \end{align}$ multipliziert. Der Kreis vom Radius 2 hat den Inhalt $\begin{align} 4 \pi \end{align}$ , der Halbkreis also den Inhalt $\begin{align} 2 \pi \end{align}$ , und da noch halbiert wird, ergibt sich insgesamt $\begin{align} \pi \end{align}$ als Integralwert.

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