Vollständige Induktion mit Mengen (Aufgabe)

31.12.2021, 22:52	osion	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion mit Mengen (Aufgabe) Meine Frage: Die Aufgabe (s. Bild): Für jede endliche Menge X gilt\|P(X)\| = 2^\|X\| Ich verstehe die Lösung ab "Schritt" nicht mehr: Ich habe eine Menge X mit n+1 Elemente und teile diese Menge in zwei gleich grosse disjunkte Mengen (A und B). Was ist die Überlegung dahinter und warum sollte A und B genau gleich gross sein? Meine Ideen: Die Lösung überfordert mich momentan. Hoffe, dass jemand Licht ins Dunkel bringen kann.
01.01.2022, 11:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion mit Mengen (Aufgabe) Die Überlegung ist: Man kennt die Kardinalität der Potenzmenge einer $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -elementigen Menge und will nun die Kardinalität von der Potenzmenge einer $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ -elementigen Menge bestimmen. Also versucht man dort eine Verbindung herzustellen. Ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray}$ -elementig, dann ist $\begin{eqnarray} X \setminus \{x\} \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -elementige Menge. Da $\begin{eqnarray} \mathcal P ( X \setminus \{x\}) \subset \mathcal P(X) \end{eqnarray}$ ist, bietet sichs an $\begin{eqnarray} A = \mathcal P ( X \setminus \{x\}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B = \mathcal P(X)\setminus A \end{eqnarray}$ zu setzen und zu schauen, ob man die Kardinalität von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ermitteln kann. Womit wir zur zweiten Frage kommen: Man kann $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ wie auf dem Arbeitsblatt ausdrücken. Dann ist es sehr leicht eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ zu finden, und damit sind die Mengen per Definition gleich groß.

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