Vektoranalysis

07.01.2022, 22:16	vtxt1104	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoranalysis Meine Frage: ich habe hier 3 Aufgaben deren Berechnung mir etwas schwer fällt, da wir erst diese Woche mit Vektoranalysis angefangen haben, und bei denen ich Hilfe bräuchte Ich bendanke mich jetzt schonmal für euere Antworten. Die Aufgaben a ) Was ergibt der Ausdruck $\begin{eqnarray} rot((\vec {a} \times \vec {r})/2) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec {a} \end{eqnarray}$ konstant und $\begin{eqnarray} \vec {r} \end{eqnarray}$ der Ortsvektor ist? b)Zeige, dass $\begin{eqnarray} rot(\phi(r)\vec {r}) = 0 \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} r = \|\vec {r}\| \end{eqnarray}$ c) Betrachte eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x, y) \end{eqnarray}$ . Zeige, dass die Richtungsableitung von f maximal wird, wenn die Richtung $\begin{eqnarray} \vec {n} \end{eqnarray}$ parallel zum Gradienten, minimal wenn $\begin{eqnarray} \vec {n} \end{eqnarray}$ antiparallel zum Gradienten und Null wenn $\begin{eqnarray} \vec {n} \end{eqnarray}$ senkrecht zum Gradienten steht. Welche Werte nimmt die Richtungsableitung jeweils an? Hinweis: Parametrisiere $\begin{eqnarray} \vec {n} \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} (cos(\phi),sin(\phi)) \end{eqnarray}$ und bestimme die Extrema der Richtungsableitung bezüglich des Winkels $\begin{eqnarray} \phi. \end{eqnarray}$ Ich bedanke mich schonmal und hoffe das mir geholfen werden kann. : Meine Ideen: .
08.01.2022, 10:03	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoranalysis a) und b) Man kann das mittels der Definitionen der Rotation und des Vektorprodukts einfach komponentenweise ausrechnen. Das ist weniger aufwendig als es zunächst aussieht, weil sich bei der Rotation und dem Vektorprodukt die 3 Komponenten einfach durch zyklische Vertauschung von $\begin{eqnarray} x, y, z \end{eqnarray}$ ergeben. Die Arbeit ist also im wesentlichen getan, wenn man eine Komponente ausgerechnet hat. Also bei a) erst mal die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Komponete der Rotation ausrechnen. Dazu braucht man die $\begin{eqnarray} y- \end{eqnarray}$ und die $\begin{eqnarray} z- \end{eqnarray}$ Komponente von $\begin{eqnarray} \vec a \times \vec r \end{eqnarray}$ . Die berechnet man daher zuerst. Falls ihr schon irgendwelche hilfreiche Formeln hattet, kannst du natürlich auch die benutzen. c) Da würde ich benutzen $\begin{eqnarray} \nabla_{\vec n} f(x,y)=\nabla f(x,y) \cdot \vec n=\|\nabla f(x,y)\|\|\vec n\|\cos (\nabla f(x,y), \vec n) \end{eqnarray}$ Jetzt muss man nur noch schauen, wo $\begin{eqnarray} \cos (\nabla f(x,y), \vec n) \end{eqnarray}$ maximal, minimal und Null wird.
08.01.2022, 11:45	vtxt1104	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoranalysis Denkst du ich könnte es auch kn Levi Civita schreibweise machen, was die sache denke ich mal vereinfachen würde ? Und ne wir haben leider keine formeln dazu
08.01.2022, 13:33	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoranalysis Klar, man kann das Vektorprodukt mit dem Levi-Civita Symbol ausdrücken. Ich zweifele etwas, dass das die Rechnung wirklich vereinfacht. Der von mir vorgeschlagene elementare Weg beginnt bei a) so: Es sei $\begin{eqnarray} \vec c=\vec a \times \vec r=\begin{pmatrix} a_y z-a_z y \\ a_z x -a_x z \\ a_x y -a_x y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann kann man im nächsten Schritt $\begin{eqnarray} (\nabla \times \vec c)_x \end{eqnarray}$ mittels $\begin{eqnarray} c_y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_z \end{eqnarray}$ ausdrücken. Mach das mal.

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