Unleserlich! Äquivalenzrelation, Ähnlichkeit, Invertierbarkeit

15.01.2022, 19:11	Kil	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation, Ähnlichkeit, Invertierbarkeit Meine Frage: 2. Aufgabe Sei K ein Körper. Zwei Matrizen A und B aus K^n×n heißen ähnlich, wenn es Basen X und Y von K^n sowie eine lineare Abbildung f : K^n ? K^n gibt, so dass A = A(f )XX(ÜbergangsMatrix) und B = A(f )YY(ÜbergangsMatrix) gilt. (i) Zeigen Sie, dass A und B genau dann ähnlich sind, wenn eine invertierbare Matrix P ? GLn(K) existiert mit B = P.A.P^?1. (ii) Zeigen Sie, dass die Relation A ? B ? A und B ähnlich eine Äquivalenzrelation auf K^n×n ist. (iii) Beweisen oder widerlegen Sie: Für jedes n ? N und jedes A ? GLn(K) gilt A ? A?1. Brauche hier bitte Helfe. Meine Ideen: Also zu (i), "=>" sei A und B ähnlich und sei Pxy(ÜbergangsMatrix) = A(id)xy(ÜbergangsMatrix), dann gilt: B = P.A.P^?1 = A(id)xy . A(f)XX . A(id)yx = A(id°f)xy . A(id)yx = A(id° f ° id)yy = A(f)yy So habe ich bei (i) bei "=>" gemacht und ob es richtig ist, bin ich mit nicht sicher. Außerdem weiß nicht genau, wie ich dann "<=" zeigen kann. (ii), und (iii) da habe ich leider gar keinen Ansatz dafür.

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