Ungleichung mithilfe Differenzialrechnung beweisen

18.01.2022, 20:46	Jimbo4	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mithilfe Differenzialrechnung beweisen Meine Frage: Es geht um folgende Aufgabe aus der Regionalrunde der diesjährigen Matheolympiade: Man beweise für reelle Zahlen a,b mit $\begin{eqnarray} a>b\geq 0 \end{eqnarray}$ folgende Ungleichung : $\begin{eqnarray} 3a+ \frac{4}{(a-b)^{3} } \geq 4\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe die Aufgabe damals durch die gängigen Mittelungleichungen gelöst. Meine Lehrerin meinte, man könnte da auch durch Differenzialrechnung auf die Lösung kommen. Wie würde man das angehen? Ich hab mal nachgeforscht, aber weder Lagrange Multiplikatoren noch Nullsetzen des Gradienten haben mir eine Lösung geliefert
18.01.2022, 20:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muß man nicht so kompliziert machen. Fasse $\begin{align} b \end{align}$ als Parameter und $\begin{align} a \end{align}$ als Variable auf. Um suggestivere Bezeichnungen zu haben, schreibe ich $\begin{align} x \end{align}$ statt $\begin{align} a \end{align}$ . Für ein fest gedachtes $\begin{align} b \geq 0 \end{align}$ kann man nun die Funktion $\begin{align} f \end{align}$ mit $\begin{align} f(x) = 3x + \frac{4}{(x-b)^2} - 4 \sqrt{2} \, , \ \ x>b \end{align}$ betrachten. 1. Untersuche $\begin{align} f(x) \end{align}$ für $\begin{align} x \to b \end{align}$ mit $\begin{align} x>b \end{align}$ und für $\begin{align} x \to \infty \end{align}$ und schließe aus dem Randverhalten auf die Existenz eines globalen Minimums. 2. Bestimme das globale Minimum mit Mitteln der Differentialrechnung.
18.01.2022, 20:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei festem $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} b\mapsto \frac{4}{(a-b)^3} \end{eqnarray}$ mit Definitionsbereich $\begin{eqnarray} [0,a) \end{eqnarray}$ offenbar streng monoton wachsend, nimmt also das Minimum bei $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ an. Insofern ist stets $\begin{eqnarray} 3a + \frac{4}{(a-b)^3}\geq 3a + \frac{4}{a^3} \end{eqnarray}$ und es ist bereits hinreichend, $\begin{eqnarray} 3a + \frac{4}{a^3} \geq 4\sqrt{2} \end{eqnarray}$ nachzuweisen. Und dies kann man nun mit Differentialrechnung tun (normale Extremwertuntersuchung) - ich würde allerdings auch den Weg über die Mittelungleichung $\begin{eqnarray} \frac{a + a + a + \frac{4}{a^3}}{4} \geq \sqrt[4]{a\cdot a\cdot a\cdot \frac{4}{a^3}} = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ wählen.

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