Ableitung des Imaginärteils

21.01.2022, 10:54	SebastianZ91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung des Imaginärteils Guten Morgen zusammen, meine Frage bezieht sich auf die Ableitung eines Imaginärteils. Also die Ableitung einer Funktion, die wie folgt aussieht: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\alpha} \cdot \Im(cos(R)) \end{eqnarray}$ Diese möchte ich nun nach R ableiten, wobei alpha irgendeine reele Konstante ist. Laut Mathematica ergibt sich hier dann: $\begin{eqnarray} <br /> - \frac{sin(R)}{\alpha} \cdot \Im'(cos(R))<br /> \end{eqnarray}$ Offensichtlich wird hier also die Kettenregel angewendet. Allerdings verstehe ich nicht, was mir $\begin{eqnarray} \Im'(cos(R)) \end{eqnarray}$ nun bringt. Wie leite ich denn bitte einen Imaginärteil ab? Wäre euch über Hilfe sehr dankbar. Möglicherweise ist die Lösung ziemlich trivial, aber ich hänge hier leider fest. Danke und beste Grüße, Seb
21.01.2022, 11:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es eine grundsätzliche Frage: Was ist dieses $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , eine reelle oder komplexe Zahl? Falls du letzteres meinst, macht das nicht viel Sinn: Nach einer komplexen Zahl ableiten setzt Holomorphie der abzuleitenden Funktion voraus. Der Imaginärteil als solcher ist eine rein reellwertige Funktion, in Verbindung mit Holomorphie geht das nur, wenn der Imaginärteil eine konstante Funktion ist. Wenn andererseits $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ reell ist, dann ist sowieso $\begin{eqnarray} \Im(\cos(R)) = 0 \end{eqnarray}$ , da gibt es auch nicht mehr viel abzuleiten. Da stellt sich dann doch schon die Frage nach dem Sinn des Vorhabens. P.S.: Es ist $\begin{eqnarray} \Im:\;\mathbb{C}\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ die Funktion, welche de facto die zweite Komponente des Arguments als Funktionswert zurückliefert. Was soll in dem Zusammenhang $\begin{eqnarray} \Im' \end{eqnarray}$ überhaupt bedeuten? Ich kann mir da nichts drunter vorstellen.
21.01.2022, 11:38	SebastianZ91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallöchen, danke für die zügige Antwort. Tatsächlich muss ich etwas konkreter werden, sorry: Also dieses R ist eine reele Zahl. Die Frage die sich mir stellt, ist, wie im Allgemeinen mit solchen Ausdrücken wie $\begin{eqnarray} \Im \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Re \end{eqnarray}$ umgegangen wird. Deshalb betrachten wir vielleicht eher: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\alpha} \cdot \Im(i \cdot cos(R)) \end{eqnarray}$ oder eben $\begin{eqnarray} \frac{1}{\alpha} \cdot \Re(cos(R)) \end{eqnarray}$ Meine tatsächlich abzuleitende Funktion ist wesentlich komplexer, nämlich in etwa: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{\alpha} \cdot \Im \left[{cos^{-1}\left({\frac{cos(-\frac{1}{2} \cdot i \cdot q \cdot log\left(\frac{2 \cdot \alpha \cdot R \cdot \exp{(i\cdot \phi)}}{q}\right)}{cos(\alpha)}}\right)}\right]<br /> \end{eqnarray}$ wobei q, alpha und R reele Werte sind. i ist die komplexe Einheit und phi der Winkel der komplexen Zahl. Ziel ist es, diese zweimal nach R abzuleiten (bzw. in einem späteren Schritt noch nach phi abzuleiten). Danke für die Hilfe. Beste Grüße, Seb
21.01.2022, 11:47	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also gut, du willst von einer komplexwertigen Funktion mit reellem Argument $\begin{eqnarray} g:~\mathbb{R}\to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ den Imaginärteil nach jenem Argument ableiten. Wo ist da das Problem? $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd R} \Im\left(g(R)\right) = \Im\left(\frac{\dd}{\dd R} g(R)\right) = \Im\left(g'(R)\right) \end{eqnarray}$ (Kann man sich ganz leicht über Ansatz $\begin{eqnarray} g(R) = u(R) + i\cdot v(R) \end{eqnarray}$ mit reellen Funktionen $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ klarmachen.)
21.01.2022, 11:58	SebastianZ91	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, das Problem war dann wohl vor allem meine Unsicherheit Ich danke dir vielmals für die Hilfe. Beste Grüße, Seb

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