Gleichung, komplexe Zahlen mit Betrag

08.02.2022, 15:24	Juliet4815	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung, komplexe Zahlen mit Betrag Meine Frage: Bestimmen Sie alle Lösungen z Element C der Gleichung \| z-3i \|=\sqrt{3} \| z-i \| in Polarkoordinaten. Meine Ideen: Ich dachte, ich berechne zunächst die Beträge und ziehe dann die Wurzel, um nach z umzustellen, jedoch habe ich dann ja bei jedem Teil der Gleichung sowohl ein mögliches Plus- als auch Minuszeichen. Möglicherweise muss man sowieso ganz anders vorgehen... Schon einmal vielen Dank für die Hilfe
08.02.2022, 15:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze doch $\begin{eqnarray} z=a+ib \end{eqnarray}$ ein und quadriere die Betragsungleichung, dann bekommst du $\begin{eqnarray} a^2 + (b-3)^2 = 3\left( a^2 + (b-1)^2 \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2 + b^2 - 6b + 9 = 3a^2 + 3b^2 - 6b + 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3 = a^2 + b^2 \end{eqnarray}$ Na was das für ein Gebilde ist, solltest du erkennen.
08.02.2022, 16:02	Juliet5815	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank! Das ergibt natürlich Sinn und ich kam jetzt auch darauf, nachdem ich es selbst nochmal nachvollziehen wollte Außerdem ist mir mein dummer Denkfehler wegen des Quadrierens aufgefallen, das ist ja beim Wurzelziehen mit dem Plus und Minus. Mit Hilfe der letzten Zeile kann man doch jetzt den Radius r berechnen, für diesen hätte ich jetzt Wurzel(3), wenn ich mich nicht ganz täusche. Nun fehlt ja noch der Winkel, diesen berechnet man doch mit Phi=arg(z) bzw. Phi=arctan(b/a). Wie kann ich das denn nun machen, wenn ich weder den Wert von a noch b weiß?
08.02.2022, 16:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ès gibt keinen Winkel zu berechnen: ALLE komplexen Zahlen $\begin{eqnarray} z=a+ib \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a^2+b^2 = \|z\|^2 = 3 \end{eqnarray}$ erfüllen die Gleichung, daher sind auch alle $\begin{eqnarray} z = \sqrt{3}\cdot e^{i\varphi} \end{eqnarray}$ Lösung, d.h., $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ stammt aus dem kompletten Kreis, d.h., $\begin{eqnarray} \varphi\in (-\pi,\pi] \end{eqnarray}$ oder falls du das lieber hast $\begin{eqnarray} \varphi\in [0,2\pi) \end{eqnarray}$ .
08.02.2022, 16:10	Juliet4815	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh ok, das ist logisch. Vielen Dank für die Hilfe!
08.02.2022, 16:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hinweis. Beim hier behandelten Problem geht es, in komplexer Sprache, um den Kreis des Apollonios.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »