Äquivalenzrelation auf komplexen Zahlen

10.02.2022, 17:26

JamesMat

Äquivalenzrelation auf komplexen Zahlen

Hallo allerseits!

Ich bin mir bei meiner Beweisführung bei einer Aufgabe nicht ganz sicher, bzw. ob es einen einfacheren Weg gibt.

Es soll geprüft werden, was für Eigenschaften einer Äquivalenzrelation eine Relation $\begin{eqnarray*} R \subseteq \mathbb{C \times C},\; z_1 \! R z_2 \Leftrightarrow \frac{z_1}{z_2} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ besitzt.
Reflexivität und Symmetrie lassen sich schnell mit $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ widerlegen, denn $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0}\notin\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \frac{0}{i}\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \frac{i}{0}\notin\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Soweit korrekt?

Bei der Transitivität habe ich mir überlegt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{z_1}{z_2}\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist, wenn $\begin{eqnarray*} Im(\frac{z_1}{z_2})=0 \end{eqnarray*}$ ist. Mit $\begin{eqnarray*} \frac{z_1}{z_2}=\frac{a+b\cdot i}{c+d\cdot i} \end{eqnarray*}$ komme ich durch Umformen zu $\begin{eqnarray*} Im(\frac{z_1}{z_2})=\frac{b\cdot c-a\cdot d}{c²+d²} \end{eqnarray*}$ , was dazu führt, dass $\begin{eqnarray*} z_1 \! R z_2 \end{eqnarray*}$ genau dann gilt, wenn $\begin{eqnarray*} b\cdot c = a\cdot d\quad ||\ c²+d²\neq0 \end{eqnarray*}$ ist.
Wende ich dies nun auf die Definition von Transitivität an, erhalte ich (wobei $\begin{eqnarray*} z_3=e+f\cdot i \end{eqnarray*}$ ist) die Gleichungen $\begin{eqnarray*} bc=ad, \ de=cf\quad ||\ c²+d²\neq 0,\ e²+f²\neq 0 \end{eqnarray*}$ als Vorraussetzung und $\begin{eqnarray*} be=af \quad ||\ e²+f²\neq 0 \end{eqnarray*}$ als Implikat.
Die ersten beiden Gleichungen kann ich Umformen zu $\begin{eqnarray*} b=\frac{ad}{c}, \ f=\frac{de}{c} \end{eqnarray*}$ und in das Implikat einsetzen, womit ich die wahre Aussage $\begin{eqnarray*} \frac{ade}{c}=\frac{ade}{c} \end{eqnarray*}$ erhalte.
Das funktioniert aber ja nicht, wenn $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ wäre, schließlich ist laut Vorraussetzung ja nur $\begin{eqnarray*} c²+d²\neq 0 \end{eqnarray*}$ , also dürfen unter anderem nur $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ nicht gleichzeitig $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ sein. Allerdings lassen sich die Gleichungen der Vorraussetzungen auch zu $\begin{eqnarray*} a=\frac{bc}{d}, \ e=\frac{cf}{d} \end{eqnarray*}$ umformen, welche eingesetzt dann zu $\begin{eqnarray*} \frac{bcf}{d}=\frac{bcf}{d} \end{eqnarray*}$ führen.

Ist es richtig, dass, weil $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ laut Vorraussetzung nicht gleichzeitig $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ sein können, und ich stets zu beiden Varianten umformen kann, die Implikation ebenfalls stets wahr und damit die Relation transitiv ist?

Wenn dies stimmt: Sind alle Schritte, die ich beschrieben habe, auch notwendig für einen korrekten Beweis?
Im Vergleich zu den anderen Übungsaufgaben, die ich bearbeitet habe, ist diese Problematik deutlich komplexer, weshalb ich denke dass ich womöglich etwas falsch mache, oder übersehe und zu kompliziert denke.

Vielen Dank für Eure Unterstützung im Voraus!

10.02.2022, 17:59

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RE: Äquivalenzrelation auf komplexen Zahlen
Reflexivität und Symmetrie sehe ich genauso. Für die Transitivität reicht $\begin{eqnarray*} \frac{z_1}{z_3}=\frac{z_1}{z_2}\frac{z_2}{z_3} \end{eqnarray*}$

10.02.2022, 18:23

JamesMat

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RE: Äquivalenzrelation auf komplexen Zahlen

Zitat:

Original von URL
Für die Transitivität reicht $\begin{eqnarray*} \frac{z_1}{z_3}=\frac{z_1}{z_2}\frac{z_2}{z_3} \end{eqnarray*}$

Aua. Jup, das macht die Aufgabe doch deutlich einfacher; so passt sie auch wieder zu den anderen.
Hab vielen Dank, URL!!
Ich glaube das wäre mir dann sonst erst in 'ner Woche unter der Dusche aufgefallen Big Laugh

10.02.2022, 18:48

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RE: Äquivalenzrelation auf komplexen Zahlen
Du hättest erst wieder in einer Woche geduscht? Big Laugh

10.02.2022, 18:52

JamesMat

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RE: Äquivalenzrelation auf komplexen Zahlen
Klar, diesen Monat habe ich noch nicht, und weniger als ein Mal pro Monat duschen wär schon echt eklig smile

10.02.2022, 18:53

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RE: Äquivalenzrelation auf komplexen Zahlen
Warum habe ich bloß gefragt Big Laugh

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Äquivalenzrelation auf komplexen Zahlen

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