Limes von Wurzel-Funktion

12.02.2022, 19:08

Ole4711

Limes von Wurzel-Funktion

Hallo,
Mein Sohn fängt gerade an zu studieren und stolpert über diese Aufgabe.
Nun fragt er mich, studiert vor 20 Jahren, und kann nicht helfen.
Könnt ihr mir einen Tip geben? Gerne auch gleich den Lösungsweg.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt{n+3 \log_{10} n + 8\sqrt{n}} - \sqrt{n+3 \log_{10} n - 8\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass das Ergebnis 8 ist. Aber wieso bloß?
Erweitern, 3. binomische Formel, … ich komme nicht weiter.
Herzlichen Dank.
Ole

12.02.2022, 19:10

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ole4711
Erweitern, 3. binomische Formel,

Und mit dem Hinweis kannst du nichts anfangen? Denn der ist goldrichtig.

-----------------

Für $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{n+3 \log_{10} n + 8\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=\sqrt{n+3 \log_{10} n - 8\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ folgt aus $\begin{eqnarray*} (a-b)(a+b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ dann nämlich

$\begin{eqnarray*} a-b = \frac{a^2-b^2}{a+b} = \frac{\left(n+3 \log_{10} n + 8\sqrt{n}\right)-\left(n+3 \log_{10} n - 8\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+3 \log_{10} n + 8\sqrt{n}}+\sqrt{n+3 \log_{10} n - 8\sqrt{n}}} = \ldots \end{eqnarray*}$

12.02.2022, 19:35

Ole4711

Auf diesen Beitrag antworten »

Super. Vielen Dank.
Das habe ich verstanden.
Nun kommt im Zähler $\begin{eqnarray*} 16\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ raus. Und im Nenner fallen die beiden hinteren Terme unter der Wurzel in Relation zu n weg. Also bleibt $\begin{eqnarray*} \frac{16\sqrt{n}}{2\sqrt{n}} =8 \end{eqnarray*}$ .
Richtig?
Oder kann/muss ich den Nenner auch noch ‚beweisen‘. Dann hakt es schon wieder…

12.02.2022, 19:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die seriöse wasserdichte Argumentation würde über "Kürzen" von $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ in Zähler wie Nenner laufen:

$\begin{eqnarray*} \frac{16\sqrt{n}}{\sqrt{n+3 \log_{10} n + 8\sqrt{n}}+\sqrt{n+3 \log_{10} n - 8\sqrt{n}}} = \frac{16}{\sqrt{1+ \frac{3 \log_{10} n}{n} + \frac{8}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1+\frac{3 \log_{10} n}{n}- \frac{8}{\sqrt{n}}}} \end{eqnarray*}$

Und wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \left(\frac{3 \log_{10} n}{n} \pm \frac{8}{\sqrt{n}}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert der Nenner gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{1}+\sqrt{1}=2 \end{eqnarray*}$ .

12.02.2022, 19:46

Ole4711

Auf diesen Beitrag antworten »

Klasse. Vielen Dank. Dieser letzte Schritt war nochmal wichtig, um es ganz zu verstehen.
Herzlichen Dank und einen schönen Abend!!!
Ole

Neue Frage »

Antworten »

Limes von Wurzel-Funktion

Verwandte Themen