Ungleichung mit zyklischer Summe in drei positiven reellen Variablen

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Eldar Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit zyklischer Summe in drei positiven reellen Variablen
Wie kann man zeigen, dass die folgende Ungleichung stimmt:



Es gibt ähnliche Ungleichungen hier, aber die lassen sich nicht so einfach auf obige übertragen.
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Frage wurde möglicherweise schon geklärt. Eldar ist zuletzt im August 2022 "aktiv" gewesen. Spaßeshalber könnte man ja einfach mal mit Blick auf die Kehrwerte und Wurzeln annehmen.

Der linkseitige Ausdruck könnte derart vereinfacht werden:



Eine Untersuchung von auf Extrempunkte liefert einen Tiefpunkt bei , womit man vielleicht eine Schranke konstruieren könnte:







Wenn man nun auf die Tiefpunkte fokussiert:



Gute Nacht.
Eldar Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die einfach nachvollziehbare Lösung.

Die Idee mit den Extrempunkten hatte ich so noch nicht auf dem Schirm und ist sehr charmant.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlschluss
@DrummerS

Du hast zwei Ungleichungen bewiesen:



und

.

Für einen Beweis von



auf diesem Weg hätte in (1) ein statt stehen müssen - was aber eben leider nicht der Fall ist. unglücklich


Anscheinend haben sich schon andere mit der Ungleichung befasst, und eine Lösung gefunden, die allerdings schon ganz schön tricky ist:

https://math.stackexchange.com/questions...-frac1bc-sqrt-f

Demzufolge ist die Ungleichung eine einfache Folgerung von . Diese Ungleichung ist auch nicht gerade einfach nachweisbar, enthält aber immerhin nur noch zwei statt drei positive Variablen. Augenzwinkern
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Rückmeldungen. @ HAL 9000: Den Fehlschluss kann ich nun nachvollziehen. Danke für diesen Hinweis und den Hyperlink.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nochmal alles zusammengetragen. Zunächst eine Hilfsungleichung: Für alle ist



und damit .

Nun gilt die Ungleichungskette



(2) ist (1) angewandt auf und .

(3) ist AMGM angewandt auf und .

(4) ist (1) angewandt auf und .

Aus (5) folgt nun durch Ringtausch



.

(5)(6)(7) addiert ergeben dann die Behauptung

.

Gleichheit in (5) erfordert , für (6)(7) dann natürlich auch noch .


P.S.: Auf diese Ungleichungskette (5) wäre ich eigenständig wohl nie gekommen. Selbst bei Information dessen, dass



gilt wäre ich wohl so vorgegangen: Funktion



ist eine quadratische Funktion bzgl. und besitzt damit ihr Minimum bzgl. bei festem an Stelle , es ist dann also ausreichend zu zeigen, dass für Funktion



dann für alle gilt. Aber auch wenn man das Problem dann auf eine Variable reduziert hat, und man am Plot das ganz gut sieht, ist der Nachweis immer noch eklig und kann mit der Eleganz von Ungleichungskette (5) nicht mithalten.

 
 
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