Erwartungswert Wurfanzahl

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Matheknabe Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Wurfanzahl
Meine Frage:
Sie würfeln immer wieder einen fairen Würfel mit 6 Seiten. Wie oft muss man durchschnittlich würfeln, um zum ersten Mal zwei 6er in Folge zu erhalten?

Meine Ideen:
Computerprogramm liefert 36. Wie kann man das ohne BruteForce lösen
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wahrscheinlichkeit, einen 6er zu würfeln, beträgt 1/6, das wird dir klar sein.
Für zwei 6er hintereinander gilt der Multiplikationssatz, also ist dann die W'keit (1/6)*(1/6) = 1/36

Also wird bei 36 Würfen dieses Ereignis im Durchschnitt 1 mal eintreten.

EDIT:
Die Lösung kann man auch mit den Mittekn der Kombinatorik erhalten.
Die Anzahl verschiedener Zahlenpaare aus den Ziffern 1 bis 6 ist eine Variation zur Ordnung 6 und Klasse 2, diese ist 6^2 = 36. Darin kommt nur 1 mal die Variation 66 vor ...

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich stelle mal dar, wie ich rechnen würde:

Sei die Wahrscheinlichkeit, dass man unter den ersten Würfen KEINE zwei Sechsen hintereinander beobachten konnte. Dann ist sowie für dann

.

Begründung: In 5 von 6 Fällen ist der n-te Wurf keine 6, es bleibt dann auch weiterhin beim Übergang bei "keine Doppelsechs" (erster Summand). Ist der -te Wurf hingegen eine Sechs, dann darf zur Aufrechterhaltung von "keine Doppelsechs" der -te Wurf keine Sechs sein UND in den Würfen davor natürlich auch noch keine Doppelsechs gefallen sein (zweiter Summand).

Nun gilt ja für die Zufallsgröße als Zeitpunkt des ersten Auftretens des Sechserpaares, und weiter dann







D.h., die mittlere Ersteintrittszeit von zwei Sechsen ist nicht 36, sondern 42. Der Grund dafür ist, dass die Ereignisse "Wurf und zeigen jeweils eine Sechs" für miteinander verzahnt und dadurch nicht mehr unabhängig sind. Das hat eine Reihe von Konsequenzen...

Zitat:
Original von Matheknabe
Computerprogramm liefert 36.

Tatsächlich? Wie hast du denn das simuliert? verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
...
..., die mittlere Ersteintrittszeit von zwei Sechsen ist nicht 36, sondern 42. Der Grund dafür ist, dass die Ereignisse "Wurf und zeigen jeweils eine Sechs" für miteinander verzahnt und dadurch nicht mehr unabhängig sind. Das hat eine Reihe von Konsequenzen...
...

Ja leider. Diese Bedenken hatte ich dann auch ...
Danke für die Berichtigung.

mY+
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser "spätere" Ersteintrittszeitpunkt wird dadurch ausgeglichen, dass der nächste Eintrittszeitpunkt dann eher eintritt:

Wenn man auf den Positionen jeweils eine Sechs hat, dann hat man mit einer Wahrscheinlichkeit auch auf Position eine Sechs, und damit unmittelbar auf gleich die nächste Doppelsechs: D.h., die Positionen der Doppelsechsen sind auch nicht unabhängig voneinander, es folgt auf eine Doppelsechs mit relativ hoher Wahrscheinlichkeit gleich die nächste. Damit das dann im Mittel mit Häufigkeit hinhaut, muss demzufolge die erste etwas später kommen - so kann man das auch "heuristisch" rechtfertigen. Die echte Rechnung (s.o.) ersetzt das natürlich nicht.
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