Ungleichungen zeigen mit Liminf und Limsup

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LimesEierkopp Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen zeigen mit Liminf und Limsup
Meine Frage:
Hallo, folgende Aufgabe:
Sei a_n eine Folge positiver reeller Zahlen. Zeigen Sie die folgenden Ungleichungen:


Meine Ideen:
Ich bin damit leider überfordert, aber ich möchte die Aufgabe, wenn möglich weitestgehend selbst lösen.
Ich wundere mich schon über den Bruch in der ersten Ungleichung. Warum hat man das gemacht ? Kann man das als eine neue Folge betrachten, die von a_n gebildet wird? Also zB ich nenne die neue Folge b_n und dann ist b_1 = a_2 / a_1; b_2 = a_3/ a_2 usw ? Hat aber sonst keine besondere Bedeutung oder ?

Könnt ihr mir einen Denkanstoß / eine Idee für zB die erste Ungleichung geben ? Damit ich weiß in welche Richtung ich denken soll.


Herzlichen Dank
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen zeigen mit Liminf und Limsup
Zum Hintergrund: Das sind Terme die beim Quotientenkriterium/Wurzelkriterium bei Konvergenz von Folgen/Reihen auftauchen. Die Ungleichung sagt, dass die Kriterien sehr "ähnlich" sind.

Zum Beweis: Du kannst wirklich definieren. Dann ist .

Für die erste Ungleichung kann man eine Teilfolge wählen, so dass . Falls ist man sofort fertig. Falls ist zu zeigen, dass . Man kann dann abschätzen, dass die "essentiell" durch nach unten abgeschätzt werden können.
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