Reihenkonvergenz - Osteraufgabe

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Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenkonvergenz - Osteraufgabe
Guten Morgen,
zum Osterfest hier ein kleines mathematisches Ei, das aufzuspüren gilt, aber sicherlich in kürzester Zeit von Euch gefunden und aufgefuttert wird.

Gegeben sei die folgende Summe:


Q(n) beschreibt dabei die Quersumme von n. (z.B. n=29 => Q(n)=11)
S(n) beschreibt die Anzahl der Stellen der natürlichen Zahl n. (z.B. n=25556 => S(n)=5)

Des Weiteren wird ein Ausdruck h beschrieben mit:


also:


Die Frage sei nun: Ist g > h oder g < h ?

Angenehmes Osterfest!!!
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal für n=1 bis 9 addiert und da habe ich 2,82 raus.
Also: g > h
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ahnung, was du da gerechnet hast. Für ist und . Also

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich behaupte
, und damit .

Wenigstens hoffe ich, dass die Darstellung korrekt ist und es schnell genug konvergiert:
.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe mal so rum an das Problem: Definiert man , dann ist . Mit zugehöriger Partialsumme



bekommt man allein , und damit (leider) keine Entscheidung für die Frage von Conny_1729. Allerdings widerspricht dieser Wert bereits dem berechneten Wert für von IfindU. verwirrt
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL Ich hab mal deins nachgerechnet und komme auch auf die . Dann ists meins nicht richtig oder es konvergiert doch langsamer als gedacht.

Ich hab noch mitgenommen, weil 7 als erfüllt. Damit kommt man auf . Noch immer drunter... Und für ist man noch immer drunter...

Maaan.

Edit: ...
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist auch noch . Aber hier lichtet sich das Bild bereits so weit, dass wohl doch auch insgesamt ist - allerdings bedarf es noch einer geeigneten Restabschätzung. verwirrt
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Keine Ahnung, was du da gerechnet hast.

Ah, ich hatte die zweite Klammer übersehen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Shit, ich hatte mich verrechnet, und zwar bei : Tatsächlich ist



und damit wegen dann auch . Ja, man braucht schon ein einigermaßen genau rechnendes Maschinchen, und man darf sich bei den Kombinationen natürlich auch nicht verzählen (wie ich zunächst bei eben jenem k=15). Augenzwinkern

--------------------------------------------------------

Ein kleiner Exkurs noch zur Bestimmung von für größere nichtprime :

Eine Zahl mit Quersumme sowie Dezimalstellenanzahl muss ja erfüllen. Wieviel solche Zahlen gibt es bei festem und ? Im Fall sind das genau Zahlen (Kombinationen mit Wiederholung). Im Fall ist dieser Wert aber nur noch eine obere Schranke für die Anzahl, d.h., man muss korrigierend eingreifen:

Für kein Problem: Es gibt schlicht keine einstelligen Zahlen mit Quersumme . Im Fall wird das aber zunehmend komplizierter - Beispiel: Für in der Zerlegung bekämen wir nach obiger Formel Zahlen, das wären nämlich quersummenmäßig 1+9, 2+8, 3+7, ... , 8+2, 9+1 und aber das eben nicht als zweistellige Zahl realisierbare 10+0, damit haben wir nur 9 passende Zahlen.

Glücklicherweise ist die kleinste Zahl, wo dieser Ärger bei anfängt, und oben haben wir ja nur benötigt. smile

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Als Bonus, wenn man noch genauer ausrechnen will:

.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Glück hast du es gelöst HAL. Ich hatte kurz gedacht wie absurd das wird, wenn Conny_1729 den exakten Grenzwert angegeben, so verrückt er auch aussehen mag Big Laugh

Interessanterweise ist die Folge im Zähler wohl eng verwandt mit der Folge hier OEIS. Die Folge in OEIS ist losgelöst vom Dezimalsystem, weswegen die unmodifizierte/unkorrigierte Formel gilt. Bei 10-19 ist man genau um 1 falsch, da dort bei OEIS noch zusätzlich die Zahl 10-19 mitgezählt, als ob es als einziffrige Zahl mit der Quersumme 10-19 dargestellt werden könnte.

Als jemand ohne Kombinatorikhintergrund hab ich ein wenig gebraucht zu verstehen wie du auf die Formel kamst, ich bin mir noch immer nicht sicher, ob ichs verstehe:

Für eine Zahl dreistellige Zahl, z.B. stelle ich mir vor die hat die Darstellung , d.h. jede Stelle durch durch eine Darstellung von Einsen ersetzt. Und deine Formel sagt wie man die 1sen alle verteilen kónnte, z.B. , was für stehen würde.

Ich hoffe du hast eine bessere Anschauung, die du teilen könntest Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Als jemand ohne Kombinatorikhintergrund hab ich ein wenig gebraucht zu verstehen wie du auf die Formel kamst, ich bin mir noch immer nicht sicher, ob ichs verstehe:

Für eine Zahl dreistellige Zahl, z.B. stelle ich mir vor die hat die Darstellung , d.h. jede Stelle durch durch eine Darstellung von Einsen ersetzt. Und deine Formel sagt wie man die 1sen alle verteilen kónnte, z.B. , was für stehen würde.

Ja, so ungefähr. Eine kleine Modifikation geschieht aber vorab: Da die vorderste Stelle mindestens 1 sein muss, wird diese 1 bereits fest zugeteilt und dann nur -mal aus möglichen Positionen gewählt, mit Wiederholung und ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Gemäß Formel für solche Kombinationen mit Wiederholung ergibt das Anzahl .

Die allgemeine Formel dann ganz unten entsteht durch Nutzung von Inklusion-Exklusion-Formel auf die Mengen

... auf Position steht ein Wert

für . In dieser allgemeinen Formel ordne ich (im Gegensatz zu oben) NICHT eine 1 der ersten Stelle fest zu, nehme also in Kauf, dass dort eine Null steht. In dem Sinne zähle ich also alle solche Zahlen mit Stellen. Das kompensiere ich dadurch, dass ich davon alle solche Zahlen mit Stellen subtrahiere, so kommt es dann wieder hin. Grund für dieses veränderte Vorgehen ist, weil ich mir keine Asymmetrie bei den Inklusions-Exklusions-Mengen einhandeln wollte: Denn ansonsten hätte ich abweichend

... auf Position 1 steht ein Wert

definieren müssen. Augenzwinkern
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr coole Idee. Ich war an der Stelle zu fixiert auf das Dezimalsystem. Du betrachtest es "halb" mit, da du ja die Stellenanzahl der Zahl berücksichtigt, bloss ohne Nebenbedingung wie groß eine Ziffer sein kann. Was ja hier nur ein "kleines" Problem ist, bis man die Behauptung gezeigt hat und erst richtig relevant wird, wenn man den Grenzwert genauer braucht.
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich bin ja wieder echt baff, wie HAL 9000 die Aufgabe regelrecht zerlegt und somit gelöst hat! Ich bin da eher einen rustikaleren Weg gegangen, der wie folgt aussieht:

g = G1+G2+G3+R1+R2

Hierbei sind G1...3 Summenformeln und R1 sowie R2 die Restglieder, die ich am Ende vernachlässigen werde.

Mit G1 sollen alle Quersummen, die 1 ergeben, zusammengefasst werden. D.h., es betrifft die n:=(1,10,100,1000, ...)

Mit G2 sollen alle Quersummen von 2 bis 9 erfasst werden.

Mit G3 sollen die Quersummen von 10 bis 18 erfasst werden, die sich in 2-stelligen n befinden.

R1 ist der Rest bzgl. der Quersummen 10...18 bei Stellenanzahl >2.
R2 ist der Rest bzgl. der Quersummen >18 bei Stellenanzahl >2.




G1+G2+G3=2.52844779051165794... >h
So bin ich zu dem Ergebnis gekommen.


Dann war anscheinend die Aufgabe doch zu einfach für Euch gewesen. Ich hätte dann wohl gleich diese verschärfte Aufgabe nehmen sollen:


wobei P(n) dann die Anzahl der Primzahlen in der Ziffernkette von n wäre (z.B. P(12345097)=4). Aber diese Aufgabe können wir uns ja vielleicht für Pfingsten aufheben;-)

Vielen Dank für euren raffinierten Lösungsweg!!!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du derlei Aufgaben noch unangenehmer machen willst, dann musst du ein mit angeben:

Dann kommt man ja dann mit keiner Partialsumme über und muss sich stattdessen noch um eine geeignete Abschätzung des Reihenrests kümmern. Da war ich z.B. oben schon mal drauf und dran (da ich mich bei einer Partialsumme verrechnet hatte). Oben gelingt diese Abschätzung des Reihenrests mit der zugegebenermaßen groben Abschätzung .

Zitat:
Original von Conny_1729
wobei P(n) dann die Anzahl der Primzahlen in der Ziffernkette von n wäre (z.B. P(12345097)=4).

Also ich erkenne in der Ziffernkette insgesamt 7 Primzahlen: 2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 97 , 509 Big Laugh
Conny_1729 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja!
Wenn man die mehrstelligen Primzahlen noch einbezieht, dann erhält die Aufgabe so richtig an Schärfe.

Zitat:
Also ich erkenne in der Ziffernkette insgesamt 7 Primzahlen: 2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 97 , 509 Big Laugh


Das wäre mir dann aber schon zuviel an Würze.
Gruß Conny
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