Differentialgleichung

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Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung
Hallo zusammen

Ich habe folgendes gegeben: y'(x) = 3y(x) mit y(0) = 0.

Warum ist der Ansatz y(x) = a * e^(3x) ?

Also woher kommt die e-Funktion und der Exponent?

Danke für die Aufklärung! smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht der Ansatz, sondern die allgemeine Lösung der DGL. Ermittelt durch Trennung der Variablen:

Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Separation der Variablen setzt allerdings voraus, dass keine Nullstellen besitzt. Laut Anfangsbedingung ist dies jedoch nicht gegeben.

Eine gangbarer Weg wäre folgender. Die Forderungen des Satzes von Picard-Lindelöf prüfen. Die Picard-Iteration mit Startfunktion und



muss dann gegen die eindeutige Lösung konvergieren. Wegen findet sich per Induktion über Ergo ist die eindeutige Lösung.
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Helferlein

Vielen Dank für die Antwort. Soweit sind die Umformungen nachvollziehbar.
Ich verstehe nur noch nicht ganz, wie man dann auf die e-Funktion kommt...?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Der nächste Schritt wäre die Integration beider Seiten mit anschließender Umformung nach y.
Aber Finns Einwand ist durchaus berechtigt: Mathematisch sauber ist die Herleitung nur, sofern y keine Nullstelle besitzt. Jedoch lässt sich zeigen, dass die daraus erhaltene Lösung das Ausgangsproblem trotzdem löst.
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