Differentialgleichung

Neue Frage »

Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung
Hallo

Ich habe folgendes gegeben und soll die Differentialgleichung "durch überlegen" lösen:
y'(x) = 3*(y(x) - 2) mit y(0) = 2.

Die Lösung habe ich bereits gegeben: y(x) = -2*e^(3x) +2

Wie aber kommt man darauf?

Es gilt ja
y'(x) = 3y(x) - 6. Der Ansatz y(x) = a*e^(3x) macht Sinn, aber wieso soll gelten y(0) = a*e^(3*0) +2 = 0 ? (Steht so in den Lösungen...)
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Vermittels Substitution wobei eine feste Verschiebung sein soll. Es gilt



Der störende Term verschwindet für
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung
Zitat:
Original von Thomas007
... mit y(0) = 2.

Die Lösung habe ich bereits gegeben: y(x) = -2*e^(3x) +2


Dumm nur, dass
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichung
Also ist die Lösung falsch...
Wie wäre das denn richtig?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung scheinst du zu kennen. Dann liegt es nahe, bei der vorgegebenen Differentialgleichung die Substitution durchzuführen. Weise nach, daß damit gilt.
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, falls y'(x) = 3u(x), dann , was (1) zeigen würde.
 
 
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Trennung der Veränderlichen ist für den Nachweis nicht vonnöten. Es genügt, in der ursprünglichen Dgl. durch den Term zu substituieren und anschließend zu vereinfachen. Diese Rechnung ist so gut wie trivial.

Die elementare Dgl. mit Anfangsbedingung besitzt bekanntlich die allgemeine Lösung Bei deiner Aufgabe ist und Nun machst du die Resubstitution, die in



resultiert. Resubstitution vermittelt außerdem



Ergo gilt

Nun machst du am besten noch die Probe durch Einsetzen der gefundenen Lösung in die Dgl. und die Anfangsbedingung.
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Erklärungen!
So macht es durchaus Sinn. smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »