Vollständige Induktion

31.05.2022, 13:41

sarahle_st

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo zusammen,

Mathe ist leider echt nicht meine Stärke, bei der Aufgabe komm ich an meine Grenzen :/

Ich soll eine vollständige Induktion durchführen:

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Meine Ideen:
Hier hab ich einmal meine Ideen/Anfang aufgeschrieben. Dabei weiß ich leider nicht, ob diese brauchbar sind und wie ich weiter machen müsste.
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Für Ideen wäre ich sehr dankbar!

31.05.2022, 13:52

Malcang

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Zuerstmal:

Der Induktionsanfang ist ok. Du solltest aber zur Übersichtlichkeit die linke und die rechte Seite ganz sauber getrennt aufschreiben statt $\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Die Induktionsvoraussetezung ist falsch. Wenn es $\begin{eqnarray*} \forall n \end{eqnarray*}$ gelte, dann bliebe nichts zu zeigen Augenzwinkern

Das wichtigste in der Induktionsschritt. Das Ziel hast du korrekt formuliert.
Nun musst du schauen, dass du eine Summe der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \end{eqnarray*}$ erarbeiten kannst. Ist dir klar, warum?

31.05.2022, 14:04

Elvis

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Der Induktionsanfang ist falsch, es muss heißen
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1\frac 1 {k(k+1)}=\frac 1 {1\cdot 2}=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Zum Induktionsschritt: Einfach die Behauptung hinschreiben ist kein Beweis. Hier muss man rechnen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac 1 {k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac 1 {k(k+1)}+\frac 1{(n+1)(n+2)}=\frac n {n+1}+\frac 1{(n+1)(n+2)}=... \end{eqnarray*}$

... und jetzt ein wenig Bruchrechnen. Sicher weißt du, wie man 2 Brüche addiert, denn das lernt man in der Schule. Auch kürzen von Brüchen lernt man in der Schule. Mathestärke wird nicht gebraucht, guter Wille genügt.

31.05.2022, 14:19

sarahle_st

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Danke Dir erst einmal für den Hinweis smile

Gehen wir mal kleinschrittig vor... nachdem ich mir nochmal ein paar Beispiele angeschaut habe, müsste ich beim IV n=k setzen und bei der Induktionsbehauptung n=k+1 setzen... Soweit richtig?

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31.05.2022, 14:25

sarahle_st

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Zitat:

Original von Elvis
Der Induktionsanfang ist falsch, es muss heißen
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^1\frac 1 {k(k+1)}=\frac 1 {1\cdot 2}=\frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Zum Induktionsschritt: Einfach die Behauptung hinschreiben ist kein Beweis. Hier muss man rechnen.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac 1 {k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac 1 {k(k+1)}+\frac 1{(n+1)(n+2)}=\frac n {n+1}+\frac 1{(n+1)(n+2)}=... \end{eqnarray*}$

... und jetzt ein wenig Bruchrechnen. Sicher weißt du, wie man 2 Brüche addiert, denn das lernt man in der Schule. Auch kürzen von Brüchen lernt man in der Schule. Mathestärke wird nicht gebraucht, guter Wille genügt.

Brüche addieren und kürzen kann ich durchaus. Ich bin jedoch noch dabei die vollständige Induktion zu verstehen. Könnte ich die Aufgabe mal eben beantworten, so würde ich hier nicht um Rat bitten. Dennoch Danke für deinen Hinweis smile

31.05.2022, 14:28

Malcang

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Zitat:

Original von sarahle_st
müsste ich beim IV n=k setzen

Nein, es geht darum das die Behauptung nur für ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt. Und das hast du ja im IA überprüft.

Zitat:

Original von sarahle_st
Induktionsbehauptung n=k+1 setzen... Soweit richtig?

Die Induktionsbehauptung ist doch das, was du zeigen möchtest. Diese schwebt als Aufgabe über deinem Beweis. Du meinst vielleicht den Induktionsschritt?

31.05.2022, 16:29

sarahle_st

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RE: Vollständige Induktion
So ...mit vereinten Kräften nun nochmal ein Vorschlag...

Über Hinweise wäre ich dankbar!
Ist die Indiktion damit vollständig?
Auch bin ich mir unsicher, ob die Schritte an der richtigen Stelle beginnen smile

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[attach]55255[/attach]

31.05.2022, 18:00

Elvis

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Es ist alles viel einfacher, als du denkst. Du musst nicht das Prinzip der vollständigen Induktion erfinden oder beweisen. Richard Dedekind hat die vollständige Induktion als ein Axiom der natürlichen Zahlen begriffen und postuliert. Wir Nachgeborenen dürfen unsere bescheidenen Fähigkeiten benutzen, und können so das Prinzip der vollständigen Induktion für recht komplizierte Beweise verwenden.

31.05.2022, 18:01

Elvis

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Du hast dich übel verrechnet, vermutlich weil du das Ziel erreichen willst, egal was es kostet. So darfst du nicht vorgehen, stattdessen musst du genau das tun, was du kannst, und das ist Bruchrechnen. Der Induktionsschluss sieht dann ganz ausführlich so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac 1 {k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac 1 {k(k+1)}+\frac 1{(n+1)(n+2)}=\frac n {n+1}+\frac 1{(n+1)(n+2)}=\frac {n(n+2)} {(n+1)(n+2)}+\frac 1{(n+1)(n+2)}=\frac {n(n+2)+1} {(n+1)(n+2)}=\frac {n(n+1+1)+1} {(n+1)(n+2)}=\frac {n(n+1)+n+1} {(n+1)(n+2)}=\frac {(n+1)(n+1)} {(n+1)(n+2)}=\frac {n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Damit erkennt man, dass aus der Annahme $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \frac 1 {k(k+1)}=\frac n {n+1} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1} \frac 1 {k(k+1)}=\frac {n+1} {n+2} \end{eqnarray*}$ . Wenn man in der Summe die Obergrenze $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ersetzt, dann wird, wie die Bruchrechnung zeigt, auf der rechten Seite ebenfalls $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ersetzt, nämlich im Zähler und im Nenner. Das ist der Induktionsschluss.

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