Rang einer Matrix, mögliche Werte

01.06.2022, 01:21

Schwucki

Rang einer Matrix, mögliche Werte

Meine Frage:
Folgende Aufgabe :

Für die Vektoren $\begin{eqnarray*} u_1 ,u_2,v_1,v_2 \in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ setzen wir:
$\begin{eqnarray*} A=u_1{v_1}^T+u_2{v_2}^T \end{eqnarray*}$

Welche Werte kann der Rang von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ annehmen? Geben Sie für jeden möglichen Wert ein Beispiel an. Falls ein Wert nicht angenommen werden kann, begründen Sie dies kurz.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Werte zwischen 0 und 3 annehmen kann, da $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{3\times3} \end{eqnarray*}$ gilt.
Jedoch habe ich nicht wirklich eine Idee, wie ich das anhand der Vektoren zeigen kann,
Danke für jede Hilfe vorab! lg

01.06.2022, 08:58

Elvis

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Das ist eine Fleißaufgabe. Rechne ein paar Beispiele durch, stelle eine Vermutung auf und beweise diese.

01.06.2022, 09:25

Huggy

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Um den Hinweis von Elvis etwas konkreter zu gestalten:

(1) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} A_1=u_1{v_1}^T \end{eqnarray*}$ nur den Rang $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ haben kann.

(2) Zeige durch ein Beispiel, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ den Rang $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ haben kann.

(3) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht den Rang $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ haben kann.

01.06.2022, 17:33

Schwucki

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Zunächst für Rang 0:
Die matrix kann nur den Rang 0 haben, wenn das Skalarproukt von u1 und v1 gleich Null ist oder?

Setze ich dafür zunächst u2 und v2 = 0, weil du meintest, ich sollle nur zeigen, dass der Rang Null ist für A=u1v1^T?

01.06.2022, 17:54

Elvis

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Wie ich schon sagte, halte ich ein paar Beispiele für sinnvoll. denn mit raten alleine kann man eine solche Aufgabe nicht angehen.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat den Rang 0, obwohl weder u1 noch v1 gleich 0 sind.

Huggy hat etwas ganz anderes gesagt als du verstanden hast.

01.06.2022, 18:02

Huggy

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Zitat:

Original von Schwucki
Zunächst für Rang 0:
Die matrix kann nur den Rang 0 haben, wenn das Skalarproukt von u1 und v1 gleich Null ist oder?

Das Skalarprodukt spielt für die Aufgabe keine Rolle. Die Notation ist so gemeint, dass die Vektoren Spaltenvektoren sind und die transponierten Vektoren Zeilenvektoren. Dann wäre $\begin{eqnarray*} u^T v \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt. $\begin{eqnarray*} u v^T \end{eqnarray*}$ ist dagegen ein Matrixprodukt, das eine 3x3-Matrix ergibt. Diese ist die Nullmatrix, wenn einer der beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ der Nullvektor ist.

Die Matrix $\begin{eqnarray*} A_1=u_1{v_1}^T+u_2 v_2^T \end{eqnarray*}$ kann aber auch die Nullmatrix ergeben, wenn keiner der Vektoren der Nullvektor ist. (siehe Beispiel Elvis)

Zitat:

Setze ich dafür zunächst u2 und v2 = 0, weil du meintest, ich sollle nur zeigen, dass der Rang Null ist für A=u1v1^T?

Es genügt, dass einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist. Der Rang von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ für diesen Spezialfall kann nur $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ sein. Du sollst nach meinem Vorschlag zeigen, dass er bei diesem Spezialfall nicht $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ sein kann.

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