Volumsintegral

07.06.2022, 20:36	maths4u	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumsintegral Hallo alle! ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Wie soll ich hier die das Volumsintegral bestimmen? Nach was soll ich hier überhaupt integrieren? Könnt ihr mal einen Blick werfen und mit mir die Aufgabe schrittweise durchgehen?
08.06.2022, 08:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]55305[/attach] Das Integrationsgebiet $\begin{align} \mathcal{B} \end{align}$ ist das abgebildete Dreieck $\begin{align} PQR \end{align}$ . Du mußt nun seine Punkte mit Hilfe der Koordinaten $\begin{align} x,y \end{align}$ beschreiben. Um das Bereichsintegral in ein Doppelintegral zu verwandeln, muß man mit einer der beiden Variablen anfangen. Prinzipiell ist es egal, mit welcher. Fürs praktische Rechnen kann es aber durchaus einen Unterschied machen. Hier ist es günstiger, mit $\begin{align} x \end{align}$ zu beginnen. 1. Jeder Punkt des Dreiecks hat eine $\begin{align} x \end{align}$ -Koordinate zwischen 0 und 2, und zu jeder solchen Koordinate gibt es auch Punkte des Dreiecks. Damit steht das Integrationsintervall für $\begin{align} x \end{align}$ fest: das Intervall $\begin{align} [0,2] \end{align}$ $\begin{align} \int \limits_0^2 \ldots ~ \dd x \end{align}$ 2. Jetzt schneidest du für ein beliebiges $\begin{align} x \end{align}$ zwischen 0 und 2 parallel zur $\begin{align} y \end{align}$ -Achse durch das Integrationsgebiet durch. Wenn du das bei $\begin{align} \color{blue} x=0{,}5 \end{align}$ tust, findest du die Punkte $\begin{align} \color{blue} \left( 0{,}5 ; y \right) \end{align}$ mit $\begin{align} \color{blue} 0{,}5 \leq y \leq 1{,}25 \end{align}$ , wenn du es bei $\begin{align} \color{green} x=1{,}5 \end{align}$ tust, die Punkte $\begin{align} \color{green} \left( 1{,}5 ; y \right) \end{align}$ mit $\begin{align} \color{green} 1{,}5 \leq y \leq 1{,}75 \end{align}$ . Das mußt du aber nun für ein variables $\begin{align} \color{red} x \end{align}$ tun. Daher die Frage: Welche $\begin{align} \color{red} y \end{align}$ -Koordinaten haben in Abhängigkeit von einem fest gewählten $\begin{align} \color{red} x \end{align}$ die Punkte $\begin{align} \color{red} (x,y) \end{align}$ des Integrationsgebiets. Und diese von $\begin{align} x \end{align}$ abhängigen Terme liefern dir die Integrationsgrenzen für das innere Integral: $\begin{align} \int \limits_{\mathcal{B}} f(x,y) ~ \dd (x,y) \ = \ \int \limits_0^2 \int \limits_{\color{red} \text{???}}^{\color{red} \text{???}} f(x,y) ~ \dd y ~ \dd x \end{align}$ 3. Dann mußt du integrieren. Du beginnst mit dem inneren Integral und mußt bei der Integration nach $\begin{align} y \end{align}$ die Variable $\begin{align} x \end{align}$ wie eine Konstante behandeln. Du erhältst für die innere Integration einen Ausdruck $\begin{align} g(x) \end{align}$ , der nur noch von $\begin{align} x \end{align}$ abhängt: $\begin{align} \int \limits_0^2 \int \limits_{\color{red} \text{???}}^{\color{red} \text{???}} f(x,y) ~ \dd y ~ \dd x \ = \ \int \limits_0^2 g(x) ~ \dd x \end{align}$ 4. Dann mußt du schließlich noch diese Integration nach $\begin{align} x \end{align}$ durchführen. Für dich zur Kontrolle noch das Ergebnis, mit Hilfe eines CAS berechnet: $\begin{align} \int \limits_{\mathcal{B}} \left( xy + \frac{1}{(1+x+y)^2} \right) ~ \dd (x,y) \ = \ \frac{1}{6} \left( 5 - \ln(5) + 4 \ln(2) \right] \end{align}$

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