Ähnliche Dreiecke

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Malcang Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnliche Dreiecke
Hallo mal wieder Augenzwinkern

aktuell hänge ich an dieser Aufgabe:
[attach]55336[/attach]

Zuerstmal wundere ich mich über die Formulierung. Die Frage nach der Ähnlichkeit ist doch schon beantwortet durch die Gleichheit der Winkel?
Aber nun zum weiteren Teil. Meine Skizze ist diese:
[attach]55337[/attach]

Ist leider mit den Bezeichnungen gerade nicht übersichtlich. Das Dreieck beim Ursprung ist das Ausgangsdreieck . Das unterste Dreieck ist ein dazu ähnliches (dies ist in der GeoGebra-Skizze durch Drehung und Streckung entstanden). Sei dieses .

Nun ist mein Ansatz, das Dreieck zu verschieben um den Vektor , wobei dies die den Großbuchstaben entsprechenden Ortsvektoren sind. Dies ist in dieser Skizze das grüne, getrichelte Dreieck. Nun entspricht ja jeder Winkel in diesem grünen Dreieck je einem Winkel im Ausgangsdreieck. Also kann ich das grüne Dreieck ja nun drehen, sodass der Winkel im Ausgangsdreieck mit dem entsprechenden Winkel im grünen Dreieck übereinstimmt. Das sieht so aus:
[attach]55338[/attach]

Ein entsprechendes Verhältnis der Seiten könnte ich ja jetzt angeben, aber ich frage mich, ob ich nicht schon viel zu weit bin. Es könnte ja auch sein, dass das Dreieck gespiegelt ist. Ohne dieses Wissen kann ich die Winkel ja nich übereinanderlegen.

Oder bin ich auf dem falschen Dampfer? verwirrt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnliche Dreiecke
Zitat:
Original von Malcang
Zuerstmal wundere ich mich über die Formulierung. Die Frage nach der Ähnlichkeit ist doch schon beantwortet durch die Gleichheit der Winkel?

Nein. Dieser Satz soll ja gerade bewiesen werden, wobei zwei Figuren als ähnlich gelten, wenn sie sich durch Ähnlichkeitstransformationen zur Deckung bringen lassen.

https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)

Dein Ansatz ist im Prinzip zielführend. Ich würde so vorgehen. Das Dreieck ABC kann so verschoben werden, dass A im Koordinatenursprung liegt. Anschließend kann es so gedreht werden, dass B auf der positiven x-Achse liegt. Danach kann C oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen. Liegt er unterhalb, spiegeln wir das Dreieck an der x-Achse. Danach liegt C oberhalb.

Das gleiche kann mit dem Dreieck A'B'C' gemacht werden. Danach liegt A auf A' und der Winkel liegt auf dem Winkel , weil sie gleich sind. Wegen der Gleichheit der Winkel und sowie und sind die Seiten und parallel. Danach folgt mit dem Strahlensatz



Jetzt hat man das Streckungsverhältnis, mit dem man B und B' sowie C und C' zur Deckung bringen kann.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Huggy,

vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich gehe sie gleich nochmal in Ruhe durch und schreibe es auf.
Was mich aber jetzt schon wundert ist halt folgendes: Ich soll ja eine Transformation angeben. Dabei stoße ich aber ja dann auf das Problem, dass ich sowas beachten muss wie "Falls das Dreieck gespiegelt ist, dann spiegle es nochmal an der Strecke AB".
Weißt du was ich meine?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Um das zu vermeiden, habe ich dir ja eine Variante angeboten, bei der eindeutig ist, wann zu spiegeln ist.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, so meinte ich das nicht.
Ich verstehe deine Variante. Ich wundere mich halt nur darüber, dass ich für die Transformation eine Fallunterscheidung angeben muss. Sowas versuche ich gerne zu umgehen Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Fallunterscheidung ist unumgänglich, weil man, um die beiden Dreiecke zur Deckung zu bringen, manchmal spiegeln muss und manchmal nicht.
 
 
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich würde den Beweis so führen:
Seien und zwei Dreiecke (Kleinbuchstaben, da Ortsvektoren). Es seien .

Nun nehme ich oBdA an, dass gilt, auf der x-Achse liegt und oberhalb der x-Achse.

Dann verschiebe ich das Dreieck so, dass gilt. Ich bilde den Vektor und transformiere




Falls unterhalb der x-Achse liegt, spiegle diesen zusätzlich.

Nach Strahlensatz gilt nun
.

Nun setze ich und betrachte


Dies bringt die Dreiecke zur Deckung.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt noch etwas.

(1) Nach der Verschiebung ist noch eine Drehung erforderlich, denn der Punkt B' wird danach im allgemeinen noch nicht auf der Geraden durch die Punkte A und B liegen. Diese Drehung sollte zudem so erfolgen, dass B' auf derselben Halbgeraden (Strahl) liegt wie B.

(2) Es fehlt eine Begründung, weshalb der Strahlensatz nach der Verschiebung und Drehung anwendbar ist.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Da fehlt noch etwas.

Ach ja, richtig.
Zitat:
Original von Huggy
(1) Nach der Verschiebung ist noch eine Drehung erforderlich, denn der Punkt B' wird danach im allgemeinen noch nicht auf der Geraden durch die Punkte A und B liegen. Diese Drehung sollte zudem so erfolgen, dass B' auf derselben Halbgeraden (Strahl) liegt wie B.

Verstehe ich. Ich kann aber ja keinen Winkel angeben, da das Dreieck ja beliebig in der Ebene liegen kann, oder?
Zitat:
Original von Huggy
(2) Es fehlt eine Begründung, weshalb der Strahlensatz nach der Verschiebung und Drehung anwendbar ist.


Es liegen nun und auf der selben Halbgeraden. Da , sind und parallel. Dann gilt nach Strahlensatz...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Malcang
Verstehe ich. Ich kann aber ja keinen Winkel angeben, da das Dreieck ja beliebig in der Ebene liegen kann, oder?

Ich glaube nicht, dass ihr den Winkel angeben sollt. Aber das musst du besser wissen als ich. Falls ja, gehen tut es. Für den Drehwinkel gilt



Wenn man daraus mittels des den Drehwinkel bestimmt, bekommt nur Werte im Bereich . Man muss dann anhand einer Fallunterscheidung bestimmen ob oder der tatsächliche Drehwinkel ist.
Malcang Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja, natürlich, der Winkel zwischen zwei Vektoren Hammer

Ich versuche mal, das in GeoGebra umzusetzen. Vielen Dank für die Hilfe! Freude
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