Wohldefiniertheit zweidimensionales Integral beweisen

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Methos_02 Auf diesen Beitrag antworten »
Wohldefiniertheit zweidimensionales Integral beweisen
Meine Frage:
Sei g:R^2->R die Funktion:

g(x,y)={, (x,y)(0,0); 0, (x,y)=0.

Ich soll zeigen, dass f(y)= wohldefiniert für alle y ist.

Meine Ideen:
Ich habe durch Corona leider ein paar Vorlesungen nicht besuchen können und komme mit nur dem Skript auch nur mäßig klar, deswegen wäre es echt super, wenn mir jemand zumindest einen Ansatz geben könnte, wie ich das zeige.
Normalerweise würde ich halt zeigen, dass das Integral an allen Stellen überhaupt definiert ist und nicht wie beispielsweise 1/x bei x=0 unendlich bzw. undefiniert wird, aber ich glaube das funktioniert hier nicht...? Wenn das doch funktionieren sollte, reicht dann zu zeigen, dass das für lim y->0 gegen 0 konvergiert oder muss ich da noch was anderes machen?
Falls mir jemand da einen Denkanstoß geben könnte wäre das echt super. Vielen Dank schon mal im Voraus. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion in ihren zwei Variablen ist im Nullpunkt unstetig. Nähert man sich auf der Geraden dem Nullpunkt an, so gilt für stets , während ist. Für die Aufgabenstellung ist das aber nicht von Bedeutung. Denn weil nach integriert wird, fungiert als Parameter, so daß es lediglich auf das Verhalten der Funktionen für fest gehaltenes ankommt. Als Beispiel nehme ich mal . Dann geht es um das Integral



Dieses Integral existiert offensichtlich. Was könnte man als Begründung dafür heranziehen?

Und diese Überlegung mußt du nun für ein beliebiges durchführen. Betrachte den Fall wegen der geteilten Definition von gesondert.

Das Integral läßt sich sogar berechnen. Die Substitution (in der als Parameter zu behandeln ist) liegt nahe.
Methos_02 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, okay, das ergibt Sinn, vielen Dank! smile
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