Uneigentliches Integral Divergenz

27.06.2022, 22:05

Sam:)

Uneigentliches Integral Divergenz

Hallo, ich möchte gerne berweisen, dass dieses uneigentliche Integral divergiert. Allerdings komme ich nicht weit. Meine erste Idee wäre es mit einem Minorantenkriterium abzuschätzen, aber finde keinen Ansatz. Es lautet:
Integral von -1 bis 0 von |cos(1/x)+sin(1/x)(1/x)| dx

28.06.2022, 10:55

Huggy

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RE: Uneigentliches Integral Divergenz
Die Substitution $\begin{eqnarray*} y=1/x \end{eqnarray*}$ macht die Sache übersichtlicher. Dann kann man abschätzen

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{2\pi (n-1)}^{2\pi n} |\frac {\cos y +\sin y} y| dy > \frac {\int\limits_{2\pi (n-1)}^{2\pi n} |\cos y +\sin y | dy}{2 \pi n} \end{eqnarray*}$

Damit wird das auf die Divergenz der harmonischen Reihe zurückgeführt.

28.06.2022, 11:19

Sam:)

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RE: Uneigentliches Integral Divergenz
Danke für die Antwort. Ich verstehe die Substitution leider nicht ganz wenn 1/x= y ist, warum wird dx dann zu dy. müsste dann nicht dx= d/y?

28.06.2022, 11:51

Huggy

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RE: Uneigentliches Integral Divergenz
Führe die Substitution halt mal korrekt durch!

28.06.2022, 12:39

Sam:)

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RE: Uneigentliches Integral Divergenz
Würde ich ja ,wenn ich wüsste wie's funktioniert! und wenn ich das wüsste, würde ich nicht fragen?!

28.06.2022, 13:51

Huggy

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RE: Uneigentliches Integral Divergenz
Substituieren muss man können. Das ist eine elementare handwerkliche Fähigkeit in der Mathematik. In der Leibniz-Notation ist die Regel auch trivial:

$\begin{eqnarray*} \int f(x)\, dx=\int f(x(y)) \frac {dx}{dy}\, dy \end{eqnarray*}$

Man kann sie von links nach rechts oder umgekehrt anwenden. Man darf so tun, als könne man mit Differentialen erweitern und kürzen. In unserem Fall wenden wir sie von links nach rechts an. Da taucht rechts der zusätzliche Faktor $\begin{eqnarray*} \frac {dx}{dy} \end{eqnarray*}$ auf. Was ergibt der bei der vorgeschlagenen Substitution?

Beim bestimmten Integral müssen natürlich auch die Grenzen substituiert werden.

28.06.2022, 15:26

Sam:)

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RE: Uneigentliches Integral Divergenz
Ich gebe dir Recht, dass man das können muss, aber ich glaube noch keiner ist damit geboren worden. So könnte man ja auf jede Frage hier im Forum antworten "dann mach das halt mal richtig" oder "das muss man halt können". Wir sind ja alle hier zum Lernen.
Ich kenne die Substitution nur so Integral mit Grenzen a bis b von f(g(x))*g'(x)dx = Integral mit Grenzen g(a) bis g(b) von f(u) du
In meinem Beispiel lautet das Integral aber |cos(1/x)+sin(1/x)(1/x)| also wenn man g(x)= 1/x nimmt ist g'(x) = -1/x^2 dann müsste das Integral |(cos(1/x)+sin(1/x))(-1/x^2)| sein, was aber ungleich |cos(1/x)+sin(1/x)(1/x)| ist. Daher verstehe ich die Substitution leider nicht

28.06.2022, 16:38

Huggy

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RE: Uneigentliches Integral Divergenz
n der Mathematik bauen die Dinge aufeinander auf. Wenn man sich mit uneigentlichen Integralen beschäftigt, hat man die elementaren Integrationsregeln schon hinter sich und sollte diese beherrschen.
Offensichtlich hast du die Substitutionsregel auch schon kennengelernt. Da es an ihrer Beherrschung hapert, kann ich dir nur raten, sie separat von anderen Aufgaben zu üben.

Bei deinem Versuch sie anzuwenden, hast du einmal den Faktor $\begin{eqnarray*} 1/x \end{eqnarray*}$ vergessen, der ja in $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ neben den Winkelfunktionen noch vorhanden ist. Dann ist ein Tohuwabohu entstanden, weil du bei der Angabe der Regel zwar noch zwei Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ verwendet hast, bei ihrer Anwendung aber plötzlich alles $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ heißt. Das kann nicht gut gehen.

Es sei

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left | \frac {\cos \frac 1 x + \sin \frac 1 x} x \right | \end{eqnarray*}$

Die Substitution $\begin{eqnarray*} y=1/x \end{eqnarray*}$ soll gemacht werden. Dann ist

$\begin{eqnarray*} f(x(y))=|(\cos y+ \sin y)y | \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac {dx}{dy}=-\frac 1 {y^2} \end{eqnarray*}$

Man erhält also

$\begin{eqnarray*} \int f(x)dx =\int f(x(y)) \frac {dx}{dy}dy=- \int \frac {|(\cos y+ \sin y)y |}{y^2}dy \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man, abgesehen vom Vorzeichen, ein $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ herauskürzen.

P.S. Es wäre hilfreich, wenn du dich um Latex für die Formeln bemühen würdest.

28.06.2022, 20:03

IfindU

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RE: Uneigentliches Integral Divergenz

Zitat:

Integral von -1 bis 0 von |cos(1/x)+sin(1/x)(1/x)| dx

Zitat:

Original von Huggy
Es sei
$\begin{eqnarray*} f(x)=\left | \frac {\cos \frac 1 x + \sin \frac 1 x} x \right | \end{eqnarray*}$

Es mag ein Tippfehler von Sam sein, aber wenigstens steht dort eher $\begin{eqnarray*} f(x)=\left | \cos \frac 1 x + \frac { \sin \frac 1 x} x \right | \end{eqnarray*}$ .

28.06.2022, 20:35

Sam:)

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RE: Uneigentliches Integral Divergenz
Genau, IfindU hat Recht. Das war kein Tippfehler. Ich meinte also genau das, was ich auch geschrieben hatte. Also ein ganz anderes Integral als Huggy beschreibt

29.06.2022, 09:37

Huggy

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RE: Uneigentliches Integral Divergenz
Okay, dann verstehe ich, dass du meine Substitution nicht nachvollziehen konntest. Hättest du Latex benutzt, wäre der Irrtum nicht passiert.

Auch jetzt macht die Substitution $\begin{eqnarray*} y= \frac 1 x \end{eqnarray*}$ die Sache übersichtlicher. Besser noch $\begin{eqnarray*} y=- \frac 1 x \end{eqnarray*}$ , weil dadurch das Integrationsgebiet auf die positive x-Achse kommt. Man kann wieder das Integral als eine Summe von Integralen der Form

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{2(n-1)\pi}^{2n\pi} |\cos y +y \sin y | \frac 1 {y^2}\, dy \end{eqnarray*}$

schreiben plus einem für die Frage der Konvergenz/Divergenz irrelevanten Anfangssummanden. Dieses Integral lässt sich aber nicht so einfach als ganzes nach unten abschätzen. Man unterteilt es in 4 Teilintegrale mit der Länge $\begin{eqnarray*} \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ . In zweien haben die Summanden innerhalb der Betragsstriche dasselbe Vorzeichen, in den zwei anderen unterschiedliche Vorzeichen. Die Teilintegrale mit unterschiedlichen Vorzeichen vernachlässigt man. In den zwei Teilintegralen mit gleichem Vorzeichen vernachlässigt man den Cos-Term. Danach lässt sich das Ergebnis mittels der harmonischen Reihe als divergent nachweisen.

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