Das Tandem [gelöst]

08.09.2004, 23:23

GMjun

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Das Tandem [gelöst]

Drei Männer wollen auf einem Tandem, auf das nur 2 passen, 40 Kilometer zurücklegen so daß der Dritte zu Fuß gehen muß. Der eine Mann, nennen wir ihn A, legt zu Fuß 1 Kilometer in 10 Minuten zurück, B in 15 Minuten und C braucht für 1 Kilometer 20 Minuten, das Fahrrad legt in einer Stunde 40 Kilometer zurück, egal wer nun gerade darauf sitzt, welches ist die kürzeste Zeit in der alle drei Männer die Strecke zurücklegen, vorausgesetzt das sie die günstigste Methode des kombinierten Gehens und Fahrens anwenden?

08.09.2004, 23:56

GMjun

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Sie müßen nicht alle drei gleichzeitig ankommen, es geht nur darum die kürzeste Zeit herauszufinden in der alle drei Männer die Strecke zurücklegen.

09.09.2004, 00:26

BraiNFrosT

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Ich würd sagen B und C fahren rad, und A geht zu Fuß.
Ich suche gerade den Haken smile

smile

Mein erster Post war überflüssig, aber du warst
zu schnell beim Antworten : )

09.09.2004, 00:59

Thomas

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Hi,

ist die gesuchte Zeit vielleicht

ca. 2 Stunden und 28 Minuten?

Gruß,
Thomas

09.09.2004, 12:59

kurellajunior

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Hi,

ich könnte die Gesamtstrecke in 2h 13 min 13,85 s schaffen...

Kommt das in die Nähe?

Jan

09.09.2004, 17:18

Jy Argon

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Hi,
ich kenne sogar die Namen der Fahrer: Ulrich, Amstrong und ein weitere guter Zeitfahrer. Denn 40 km/h ist recht fix oder?

Gruß Jy

PS: ich denke, ich habe einen Lösungsansatz würde aber gerne wissen wie man so was in eine Fromel bringt. ------ Ach meine Frage hat hat sich erledigt. Man kann sich ja benachrichtigen lassen wenn hierzu etwas gepostet wird, also werde ich die Antwort wohl irgendwann bekommen

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09.09.2004, 19:40

GMjun

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Hallo, 2h 28 min ist schon wirklich gut, kommt schon in die Nähe aber man kann die Strecke noch schneller schaffen,
2h und 13min. wäre die schnellste Zeit, aber ich denke das das nicht stimmt, es kann zwar sein, das zwei gemeinsam auf dem Rad diese Zeit schaffen, dann wird aber der Dritte länger wie 2h 13min brauchen, z.B 2h und 21min und das ist dann die Zeit, 2h und 21min die sie gemeinsam, alle drei benötigen bis sie die 40 Kilometer geschafft haben.

09.09.2004, 19:45

juergen

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Ich würde folgende Strategie vorschlagen:

B + C setzten sich aufs Tandem und radeln los; A geht derweil zu Fuß.
Wenn B + C angekommen sind steigt einer ab und der andere radelt alleine A entgegen. Dann steigt A mit aufs Tandem und sie radeln bis zum Ende.

Also:

B+C bis zur Endstation: 60 Minuten
B alleine bis zum Treffpunkt mit A: 44.35 Min
B+A bis zur Endstation: 44.35 Min.

Zusammen: 60 + 44.35 + 44.35 = 148.7 Min
oder: 2 Stunden, 28 Minuten, 42 Sekunden

Ich denke: Thomas hat recht! smile

smile

09.09.2004, 21:50

henrik

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Jürgen deine Idee is die Richtige Richtung... Nur wieso Zeit verschwedenen.. B und C sollten nich beide durchfahren.. sondern einer sollte schon vor dem Ziel umkehren um A zu holen.. denn in der Zeit wo A geholt wird von dem einen kann der andere ja den Rest zu Fuss gehen. tz tz Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.09.2004, 22:28

juergen

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Zitat:

Original von henrik
Ach Mensch mädels

verwirrt

Zitat:

... B und C sollten nich beide durchfahren.. sondern einer sollte schon vor dem Ziel umkehren um A zu holen.. ....

Aber da dauert ja das Ausrechnen länger, als die Zeitersparnis ist :P

09.09.2004, 23:29

kurellajunior

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Stimmt nicht, ich habs in 12 Minuten ausgerechnet... Also immer noch 3 Minuten Ersparnis, wenn ich mich nicht verrechnet habe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber mit genau der Taktik habe ich die 2h 13min errechnet.

Gruß, Jan

09.09.2004, 23:34

Thomas

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Ok,

da habt ihr anscheinend noch einen Trick gefunden Augenzwinkern

Augenzwinkern

Postet doch mal euren Rechenweg smile

smile

Gruß,
Thomas

09.09.2004, 23:43

kurellajunior

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Mach ich, aber morgen. Gute Nacht, Jan

10.09.2004, 06:22

henrik

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na dann muss ich mich ja beeilen sie vor dir zu posten nachher Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.09.2004, 11:17

kurellajunior

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Lösungsweg
So ausgeschlafen und frisch ans Werk:

Folgender Plan: B und C fahren los. Bei $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ setzt C B ab und fährt zurück zu A, der mittlerweile gelaufen ist. Bei $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ nimmt er ihn mit aufs Tandem und sie fahren gemeinsam zum Ziel. $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ sind so zu wählen, dass alle gleichzeitig im Ziel ankommen.
Wir fassen zusammen:
$\begin{eqnarray*} v_A=6km/h \end{eqnarray*}$ Geschwindigkeit von A
$\begin{eqnarray*} v_B=5km/h \end{eqnarray*}$ Geschwindigkeit von B
$\begin{eqnarray*} v_C=3km/h \end{eqnarray*}$ Geschwindigkeit von C
$\begin{eqnarray*} v_F=40km/h \end{eqnarray*}$ Geschwindigkeit des Tandems
$\begin{eqnarray*} s=40km \end{eqnarray*}$ Gesamtstrecke

Gesucht:
$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ die Gesamtzeit
$\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ der erste Wechselpunkt
$\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ der zweite Wechselpunkt

zum Verständnis:
$\begin{eqnarray*} 0<s_2<s_1<s \end{eqnarray*}$

Wir brauchen also drei Gleichungen. Dazu betrachten wir einfach die Bewegung jedes der drei Menschen:
B fährt mit dem Tandem bis $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ und läuft den Rest.(1)
A läuft bis $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ und fährt den Rest mit dem Tandem.(2)
C fährt nur Tandem. Erst bis $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ , dann von $\begin{eqnarray*} s_1 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ und dann von $\begin{eqnarray*} s_2 \end{eqnarray*}$ bis zum Ende.(3)
Alle brauchen dafür die gleiche Zeit.

$\begin{eqnarray*} \end{align*}\begin{eqnarray}\frac{s_1}{v_F}+\frac{s-s_1}{v_B}&=&t\\\frac{s_2}{v_A}+\frac{s-s_2}{v_F}&=&t\\\frac{s_1+\left(s_1-s_2\right)+\left(s-s_2\right)}{v_F}&=&t\end{eqnarray}\begin{align*} \end{eqnarray*}$

Dann machen wir das mal schick...

$\begin{eqnarray*} \end{align*}\begin{eqnarray}\left(\frac{1}{v_F}-\frac{1}{v_B}\right)s_1+0s_2-t&=&-\frac{s}{v_B}\\0s_1+\left(\frac{1}{v_A}-\frac{1}{v_F}\right)s_2-t&=&-\frac{s}{v_F}\\\frac{2}{v_F}s_1-\frac{2}{v_F}s_2-t&=&-\frac{s}{v_F}\end{eqnarray}\begin{align*} \end{eqnarray*}$

Und nu noch Zahlen und kürzen

$\begin{eqnarray*} \end{align*}\begin{eqnarray}\left(\frac{1}{40}-\frac{1}{5}\right)s_1+0s_2-t&=&-8\\0s_1+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{40}\right)s_2-t&=&-1\\\frac{1}{20}s_1-\frac{1}{20}s_2-t&=&-1\end{eqnarray}\begin{align*} \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} \end{align*}\begin{eqnarray}-\frac{7}{40}s_1+0s_2-t&=&-8\\0s_1+\frac{17}{120}s_2-t&=&-1\\\frac{1}{20}s_1-\frac{1}{20}s_2-t&=&-1\end{eqnarray}\begin{align*} \end{eqnarray*}$
und der Rest ist ja wohl trivial... Tanzen

Tanzen

oder? Sind komische Zahlen, aber am Ende habe ich
$\begin{eqnarray*} t=\frac{433}{195}\approx2,2205 \end{eqnarray*}$
und das sind ca
$\begin{eqnarray*} 2h\:13min\:14s \end{eqnarray*}$

Grüße, Jan

EDIT: PS, Tippfehler korrigiert. Danke Henrik.

10.09.2004, 13:02

henrik

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Kleiner Schreibfehler am Anfang Augenzwinkern

Augenzwinkern

C setzt B ab und nicht B C

Aber die Lösung ist schön :]

10.09.2004, 15:54

Thomas

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Wow, vielen Dank dafür Gott

Gott

*als [gelöst] markier*

10.09.2004, 22:36

GMjun

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C, der langsamste Fußgänger fährt immer auf dem Tandem. Er und A, der schnellste Fußgänger fahren das Tandem über eine Strecke von 31,038 Kilometer während B zu Fuß geht, A steigt ab und C kehrt um und fährt zurück um B an einer Stelle die 5,6432km vom Start entfernt ist aufzulesen, B und C bleiben den Rest der Fahrt auf dem Fahrrad und treffen gleichzeitig mit A der zu Fuß geht am Ziel ein. Die schnellste Gesamtzeit in der alle drei die Strecke zurücklegen können beträgt 136,1847 min

A 46,557
89,62
I: 136,177

B 46,557
38,092
51,535
I: 136,1847

C 51,535
46,557
38,092
I: 136,1847

Wenn C und B anfangs auf dem Tandem losfahren und A inzwischen zu Fuß geht braucht irgendeiner der drei immer eine Zeit die über 136,1847 liegt.

11.09.2004, 09:57

henrik

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Hast du die Lösung von kurellajunior nicht verstanden? Sie kommen alle gleichzeitig an...sogar auf die Sekunde genau um Zeit zu sparen.

Und deine Zeit ist länger als seine..

11.09.2004, 21:44

GMjun

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Von Gleichungen versteh ich null, ich bräuchte eine genaue Beschreibung wie das ganze abgelaufen ist, mit den genauen Kilometerangaben von jedem so wie ich es in meinem vorigen Post beschrieben habe, dann wird sich herausstellen das 136,1847 die absolut bestmögliche Lösung ist, ich bitte daher um genaue Daten.

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