Automorphismengruppe glatte Quadrik

02.07.2022, 17:23	algebralover	Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismengruppe glatte Quadrik es sei $\begin{eqnarray} \mathbb{P}_n \end{eqnarray}$ der projektive Raum über einem algebraisch abgeschlossenem Körper K (z.B. die komplexen Zahlen). Ich möchte gerne beweisen, dass die Automorphismengruppe $\begin{eqnarray} Aut(Q) \end{eqnarray}$ einer glatten Quadrik $\begin{eqnarray} Q \subseteq \mathbb{P_n} \end{eqnarray}$ gerade die orthogonale Gruppe ist. Meine Ideen: Für die Darstellung der Quadrik Q nutze ich die projektive Normalform $\begin{eqnarray} x_0^2+ \ldots +x_n^2=0 \end{eqnarray}$ Ich konnte leicht zeigen, dass $\begin{eqnarray} O(n) \subseteq Aut(Q) \end{eqnarray}$ gilt, da $\begin{eqnarray} A \in O(n) \end{eqnarray}$ insbesondere eine Isometrie definiert und damit für $\begin{eqnarray} x \in Q \end{eqnarray}$ sofort $\begin{eqnarray} Ax \in Q \end{eqnarray}$ folgt, wobei die Isometrie über die Bilinearform $\begin{eqnarray} \langle x,y \rangle := x_0y_y + \ldots x_ny_n \end{eqnarray}$ definiert ist. Ich komme nur leider nicht wirklich weiter, wie man die Gleichheit beweisen kann. Willkommen im Matheboard! Die LaTeX-Tags sind hier keine Dollarzeichen, ich hab Deinen Beitrag entsprechend repariert. Viele Grüße Steffen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »