Lie-Ableitung

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Namenloser324 Auf diesen Beitrag antworten »
Lie-Ableitung
Ich versuche gerade die Lieableitung zu verstehen. Für diese habe ich folgende Definition gefunden:



mit Vektorfeldern X, W definiert auf einer Mannigfaltigkeit M, sowie mit Integralkurve von X mit und . In der Notation steht <f,x> für f(x).

In meiner Aufgabe ist gegeben (was einfach ein allgemeines Vektorfeld ist), sowie mit .

Ich versuche das auseinander zu dividieren:
. Hier war ich mir nicht sicher, wie die Komposition des Vektorfeldes mit der Kurve aussieht und habe vermutet, dass man die Kurve in die Koordinaten der Koordinatenfunktionen des Vektorfeldes einsetzen muss, sowie, dass man die Ableitungen am Ort der Kurve auswertet.
Das Ergebnis wäre in der Tat ein Tangentialvektor, welchen ich in das Differential am Anfang einsetzen könnte.

Dann gilt für das Differential (mit Funktion f und v wie oben definiert)


Wenn ich das jetzt in die Definition der Lieableitung oben einsetze (und die beliebige Funktion f wieder entferne) würde ich folgendes erhalten:

.

Nach meinem Verständnis ist das Ergebnis also quasi die Richtungsableitung der Koordinatenfunktionen von W

mit der Jacobimatrix von W^i. Man könnte noch setzen. Habe ich das so richtig verstanden? Es kommt mir komisch vor, dass hier die Form von nicht relevant zu sein scheint, lediglich der Wert der Integralkurve in einem Punkt m?!

Die Integralkurven von , das hatten wir auf dem letzten Übungsblatt, sind von der Form mit m beliebig, aber ich wüsste nicht, wieso die Form hier relevant sein sollte.
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