Dreieck der Ankreismittelpunkte

05.07.2022, 16:26

Malcang

Dreieck der Ankreismittelpunkte

Hallo zusammen smile

ich schaue gerade bei dieser Aufgabe hier:
[attach]55533[/attach]

Mir ist eigentlich auch beides klar, zur (a) habe ich allerdings eine Frage.
Der Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ liegt auf der Geraden durch die Punkte $\begin{eqnarray*} w_b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_c \end{eqnarray*}$ , da diese die äußere Winkelhalbierende des Winkels bei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist. Die innere Winkelhalbierende steht also senkrecht auf diese Gerade.
Meine Frage ist: Wie kann ich elementargeometrisch begründen, dass der Punkt $\begin{eqnarray*} w_c \end{eqnarray*}$ auf der Innenwinkelhalbierenden liegt?

Vektoriell konnte ich das zeigen.

Vielen Dank an jeden Helfer smile

05.07.2022, 17:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Malcang
Wie kann ich elementargeometrisch begründen, dass der Punkt $\begin{eqnarray*} w_c \end{eqnarray*}$ auf der Innenwinkelhalbierenden liegt?

Weil der zugehörige Ankreis beide Geraden CA und CB berührt!

Ist eine immer wiederkehrende Eigenschaft bei solchen Kreisberührungen im Themenfeld Inkreis/Ankreis: Zieht man von einem Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ außerhalb eines Kreises (mit Mittelpunkt M) die beiden Tangenten an den Kreis, so ist $\begin{eqnarray*} PM \end{eqnarray*}$ Winkelhalbierende des durch diese beiden Tangenten gebildeten Winkels bei $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

05.07.2022, 17:53

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war natürlich das Stichwort, HAL, vielen Dank dafür! Hammer

Falls $\begin{eqnarray*} t_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2 \end{eqnarray*}$ die beiden Berührpunkte der Tangenten durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ sind, dann sind die Dreiecke $\begin{eqnarray*} \Delta cw_ct_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta cw_ct_2 \end{eqnarray*}$ doch sogar nach SSS kongruent, richtig?

05.07.2022, 20:12

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, zunächst eigentlich nach SsW:

S - Länge der gemeinsamen Strecke $\begin{eqnarray*} cw_c \end{eqnarray*}$
s - jeweils der Kreisradius $\begin{eqnarray*} |w_ct_1| = |w_ct_2| = r \end{eqnarray*}$
W - jeweils der rechte Winkel zwischen Radiusvektor und Tangente: $\begin{eqnarray*} w_ct_1\perp ct_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_ct_2\perp ct_2 \end{eqnarray*}$

05.07.2022, 20:19

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah natürlich, Hypothenuse ist ja die längste Seite im Dreieck geschockt

Danke sehr Big Laugh

05.07.2022, 20:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Malcang
Ah natürlich, Hypothenuse ist ja die längste Seite im Dreieck

Und deine Hypothenuse ist besonders lang. Viele längher als alle anderen Hypotenusen der Welt.

05.07.2022, 20:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die Retrowelle: Früher wurden ja auch viel mehr Wörter mit "h" geschrieben, z.B. "Theil". Erstaunlicherweise haben einige dieser Wörter sogar die letzte Rechtschreibreform überlebt, z.B. der Diktatklassiker "Rhythmus".

Damit kann ich jedenfalls eher leben als mit Leuten, die meinen auf den Spuren Peters des Großen wandeln zu müssen.

05.07.2022, 21:39

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

[OT]In diesem Fall hat das eher mit $\begin{align*} \vartheta \end{align*}$ und $\begin{align*} \tau \end{align*}$ zu tun. Ersterer griechischer Buchstabe wird bei der Übertragung von Fremdwörtern aus dem Griechischen in die lateinische Schrift im Deutschen zu "th", der zweite zu "t". Sicher kann man fragen, ob das heute noch von Bedeutung ist, wo man $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ , das früher immer als "ph" übertragen wurde, inzwischen meist als "f" schreibt, zum Beispiel statt "Photo" einfach "Foto". Dann sollte man allerdings auch keine Angst vor "Filosofie" haben. Man ist da im Deutschen oft herrlich inkonsequent. Schon Kaiser Wilhelm II. hat das "h" in "Thron" vor Konrad Duden gerettet. Das ist ihm gelungen. Seinen Thron selbst zu retten war ihm nicht vergönnt. Ob Wladimir der Nacktpferdige mit seinen Eroberungsplänen und Großmachtf(ph)antasien mehr Erfolg beschieden sein wird, wird die Zukunft erweisen. Russische Zaren haben oft kein gutes Ende gefunden. Peter III. wurde 1762 von seiner Frau, der deutschen Prinzessin Katharina, auf die sich Wladimir der Nacktpferdige heute so gerne beruft, schließlich hat sie die Krim nach Rußland geholt, erst weggeputscht und von ihren Liebhabern danach umgebracht. Die Experten streiten sich, ob sie von den Mordplänen gewußt hat. Ihr Sohn Paul I. wurde 1801 von Verschwörern erdrosselt. Dessen Sohn Alexander I. ("Der Kongreß tanzt") spielte in der Sache eine unklare Rolle. Immerhin durfte er eines natürlichen Todes sterben, ebenso wie sein Bruder und Nachfolger Nikolaus I. (Krimkrieg). Dessen Sohn Alexander II. hatte nicht so viel Glück. Wie durch ein Wunder überlebte er mehrere Sprengstoffanschläge. Einmal sollte die ganze kaiserliche Familie im Winterpalais in die Luft gesprengt werden. Schließlich gelang es Revolutionären doch noch, ihn 1881 mit einer Handgranate zu töten. Das Ende seines Enkels Nikolaus II. 1918 in Jekaterinburg ist bekannter. Ich weiß nicht, ob dieses statistische Material ausreicht, um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, daß es auch mit Wladimir dem Nacktpferdigen kein gutes Ende nehmen wird.[/OT]

05.07.2022, 22:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufzählung fehlt noch ein Herrscher, der nach einem Schlaganfall elendig verreckte, weil stundenlang keiner aus Furcht vor den Konsequenzen wagte, sich ihm zu nähern und Hilfe zu leisten.

@Malcang

Entschuldige das Off-topic, aber wir waren ja durch mit dem Thema. Augenzwinkern

05.07.2022, 23:24

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
In der Aufzählung fehlt noch ein Herrscher, der nach einem Schlaganfall elendig verreckte, weil stundenlang keiner aus Furcht vor den Konsequenzen wagte, sich ihm zu nähern und Hilfe zu leisten.

Ich war am Überlegen, ob ich ihn in meine Aufzählung aufnehmen sollte, entschied mich aber dagegen, da er nicht durch äußere Gewalteinwirkung ums Leben kam. Ob er hätte gerettet werden können, wenn man ihm rechtzeitig geholfen hätte, bleibt Spekulation. Für sein Land war es auf jeden Fall besser, daß er elendig verreckt ist. Und während ich das schreibe, denke ich: Ist er wirklich verreckt? Oder lebt er als Geist im heutigen Rußland nicht weiter und verwirrt die Sinne der Menschen, die der Herrschenden und auch die vieler der Beherrschten?

06.07.2022, 09:03

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Oder lebt er als Geist im heutigen Rußland nicht weiter und verwirrt die Sinne der Menschen, die der Herrschenden und auch die vieler der Beherrschten?

Er lebt, und gedeiht seit reichlich 10 Jahren immer prächtiger. Zur kompletten Restalinisierung Russlands fehlt eigentlich nur noch das Gulagsystem in seiner alten Größe.

Vielleicht fallen ja die in letzter Zeit gehäuften bizarren Todesfälle von Oligarchen ja auch auf Wladolf den Nacktpferdigen zurück. Irgendwann müsste es den Oligarchen doch eigentlich reichen, dass er nicht nur ihre Geschäfte empfindlich stört, sondern auch eine Gefahr für ihre Gesundheit ist.

06.07.2022, 12:19

Malcang

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
@Malcang

Entschuldige das Off-topic, aber wir waren ja durch mit dem Thema. Augenzwinkern

Auch im OT hab ich interessiert mitgelesen Big Laugh

06.07.2022, 14:49

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Tag,

@Leopold

Zitat:

Schon Kaiser Wilhelm II. hat das "h" in "Thron" vor Konrad Duden gerettet.

Diese Aufzählung ist nicht ganz vollständig: Er hat noch ein zweites deutsches Wort mit th vor K. Duden gerettet: Brathering

(Er war halt neidisch auf Bismarck).

06.07.2022, 15:37

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ihre Rathäuser haben sich die Bürger auch nicht nehmen lassen.

Neue Frage »

Antworten »

Dreieck der Ankreismittelpunkte

Verwandte Themen