Divergenz oder Konvergenz

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MMchen60 Auf diesen Beitrag antworten »
Divergenz oder Konvergenz
Liebe Forumsgemeinde,
woran genau kann man erkennen, ob eine Reihe divergiert oder konvergiert? Zum Beispiel:
.
Die Reihe soll divergieren, obwohl doch mit jedem weiteren k ein kleinerer Anteil hinzuaddiert wird, also müsste das doch auf einen bestimmten Wert zulaufen.
Vielen Dank für Antwort
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Reihe ist ein bekannter Spezialfall. Die Reihe 1+1/2+1/3+1/4+... heißt "reziproke Reihe" und divergiert bestimmt gegen unendlich. Leonhard Euler hat bewiesen, dass sogar die Teilreihe 1/2+1/3+1/5+... bestimmt gegen unendlich divergiert, die in den Nennern nur die Primzahlen enthält. Das beweist, dass es nicht nur unendlich viele natürliche Zahlen sondern sogar unendlich viele Primzahlen gibt.

Richtig teuflisch wird die Sache dadurch, dass die Reihe für x>1 konvergiert und für x<=1 divergiert.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Divergenz von kann man so zeigen:



klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz oder Konvergenz
Hierzu wollte ich fragen, ob die Darstellung
Zitat:
Original von Huggy
Die Divergenz von kann man so zeigen:

.........


ohne ausdrückliche Erwähnung des Cauchy-Kriteriums nicht etwas gefährlich ist. Ein Noch-nicht-Profi könnte sich so verleitet fühlen, allgemein für eine - divergente - Reihe durch geschickte Klammersetzung einen Grenzwert herbeizuzaubern.

Der Annahme
Zitat:
Original von MMchen60
... mit jedem weiteren k ein kleinerer Anteil hinzuaddiert wird, also müsste das doch auf einen bestimmten Wert zulaufen.

würde ich im übrigen entgegenhalten:
.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Divergenz oder Konvergenz
Zitat:
Original von klauss
Hierzu wollte ich fragen, ob die Darstellung
Zitat:
Original von Huggy
Die Divergenz von kann man so zeigen:

.........


ohne ausdrückliche Erwähnung des Cauchy-Kriteriums nicht etwas gefährlich ist. Ein Noch-nicht-Profi könnte sich so verleitet fühlen, allgemein für eine - divergente - Reihe durch geschickte Klammersetzung einen Grenzwert herbeizuzaubern.

Bei einer Reihe mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Summanden kann man beliebig Klammern setzen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Huggy Ist Klammersetzung denn gefährlich? Ich kenne nur, dass Permutationen den Wert/das Konvergenzverhalten von nicht-absolut-konvergierenden Reihen ändern können.
 
 
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man z. B. bei der nicht konvergenten Reihe



je eine aufeinanderfolgende und durch eine Klammer zusammenfassen würde, bekäme man eine Reihe aus lauter Nullen.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Danke @Huggy. Zusammen mit additiven Nullen könnte man auch jede Reihe divergieren lassen... War mir nie so bewusst gewesen!
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