Divergenz oder Konvergenz |
26.07.2022, 09:26 | MMchen60 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Divergenz oder Konvergenz woran genau kann man erkennen, ob eine Reihe divergiert oder konvergiert? Zum Beispiel: . Die Reihe soll divergieren, obwohl doch mit jedem weiteren k ein kleinerer Anteil hinzuaddiert wird, also müsste das doch auf einen bestimmten Wert zulaufen. Vielen Dank für Antwort |
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26.07.2022, 09:36 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diese Reihe ist ein bekannter Spezialfall. Die Reihe 1+1/2+1/3+1/4+... heißt "reziproke Reihe" und divergiert bestimmt gegen unendlich. Leonhard Euler hat bewiesen, dass sogar die Teilreihe 1/2+1/3+1/5+... bestimmt gegen unendlich divergiert, die in den Nennern nur die Primzahlen enthält. Das beweist, dass es nicht nur unendlich viele natürliche Zahlen sondern sogar unendlich viele Primzahlen gibt. Richtig teuflisch wird die Sache dadurch, dass die Reihe für x>1 konvergiert und für x<=1 divergiert. |
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26.07.2022, 10:26 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Divergenz von kann man so zeigen: |
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26.07.2022, 17:47 | klauss | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Divergenz oder Konvergenz Hierzu wollte ich fragen, ob die Darstellung
ohne ausdrückliche Erwähnung des Cauchy-Kriteriums nicht etwas gefährlich ist. Ein Noch-nicht-Profi könnte sich so verleitet fühlen, allgemein für eine - divergente - Reihe durch geschickte Klammersetzung einen Grenzwert herbeizuzaubern. Der Annahme
würde ich im übrigen entgegenhalten: . |
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26.07.2022, 18:30 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Divergenz oder Konvergenz
Bei einer Reihe mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Summanden kann man beliebig Klammern setzen. |
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27.07.2022, 10:28 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Huggy Ist Klammersetzung denn gefährlich? Ich kenne nur, dass Permutationen den Wert/das Konvergenzverhalten von nicht-absolut-konvergierenden Reihen ändern können. |
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27.07.2022, 10:54 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man z. B. bei der nicht konvergenten Reihe je eine aufeinanderfolgende und durch eine Klammer zusammenfassen würde, bekäme man eine Reihe aus lauter Nullen. |
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27.07.2022, 10:58 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke @Huggy. Zusammen mit additiven Nullen könnte man auch jede Reihe divergieren lassen... War mir nie so bewusst gewesen! |
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