Stetigkeit einer linearen Abbildung

26.07.2022, 12:20

Stetigkeit einer linearen Abbildung

Meine Frage:
Hallo, momentan sitze ich vor der im Anhang hochgeladenen Aufgabe. Tatsächlich ist die Lösung da ja bereits vorhanden, allerdings verstehe ich diese nicht und hätte ein paar Nachfragen dazu.

Meine Ideen:
erst mal zur Aufgabe a):

Ich habe mir am Anfang auch überlegt, das mit Folgenstetigkeit zu zeigen und habe mithilfe des Sandwichtheorems gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \lim {n \to \infty} f_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} \lim {n \to \infty} Tf_{n} \end{eqnarray*}$ ja denke ich divergiert. Reicht die Aussage, dass diese beiden Grenzwerte nicht übereinstimmen, schon aus, um die Unstetigkeit zu beweisen? Oder müsste man eigentlich, wie in der Lösung, über die Norm argumentieren? Da verstehe ich aber nicht, wieso die Unendlich-Norm von $\begin{eqnarray*} Tf_{n} \geq n \end{eqnarray*}$ ist und nicht einfach nur n, genauso wie die von $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ sein müsste. Wäre die Begründung dann, dass die Normen nicht übereinstimmen?

zu b):

Hier verstehe ich die Lösung ehrlich gesagt überhaupt nicht mehr. Woher kommt überhaupt die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} \lVert T \rVert \leq 1 < \infty \end{eqnarray*}$ ? Und wieso bedeutet diese, dass T stetig ist?

Vielen Dank für jede Hilfe!

26.07.2022, 15:19

Huggy

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RE: Stetigkeit einer linearen Abbildung

Zitat:

Original von tr
Ich habe mir am Anfang auch überlegt, das mit Folgenstetigkeit zu zeigen und habe mithilfe des Sandwichtheorems gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \lim {n \to \infty} f_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} \lim {n \to \infty} Tf_{n} \end{eqnarray*}$ ja denke ich divergiert. Reicht die Aussage, dass diese beiden Grenzwerte nicht übereinstimmen, schon aus, um die Unstetigkeit zu beweisen? Oder müsste man eigentlich, wie in der Lösung, über die Norm argumentieren?

Ob eine Funktionenfolge konvergiert oder divergiert hängt ja von der Norm ab, die man betrachtet. Man muss also schon mit der Norm argumentieren.

Zitat:

Da verstehe ich aber nicht, wieso die Unendlich-Norm von $\begin{eqnarray*} Tf_{n} \geq n \end{eqnarray*}$ ist und nicht einfach nur n, genauso wie die von $\begin{eqnarray*} f_{n} \end{eqnarray*}$ meiner Meinung nach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ sein müsste.

Man könnte auch Gleichheitszeichen hinschreiben. Für den Beweis genügt aber das schwächere $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wäre die Begründung dann, dass die Normen nicht übereinstimmen?

Die Begründung ist, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} T f_n \neq T \lim_{n\to \infty} f_n \end{eqnarray*}$

wegen der Abschätzung der Normen. Die Definition der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ erfordert ja hier Gleichheit.

Zitat:

zu b):

Hier verstehe ich die Lösung ehrlich gesagt überhaupt nicht mehr. Woher kommt überhaupt die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} \lVert T \rVert \leq 1 < \infty \end{eqnarray*}$ ?

Die Norm von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ist definiert durch

$\begin{eqnarray*} ||T||=\sup \frac {||T f||}{||f||} \end{eqnarray*}$

und das ist bei den angegebenen Normen offensichtlich $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und wieso bedeutet diese, dass T stetig ist?

Da gibt es den grundlegenden Satz, dass ein beschränkter linearer Operator stetig ist. Den habt ihr sicher gehabt. Es gilt auch umgekehrt: Ein stetiger linearer Operator ist beschränkt.

26.07.2022, 17:06

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RE: Stetigkeit einer linearen Abbildung
Erst mal vielen Dank für deine Anwtort! Ich hätte nochmal ein paar Rückfragen.

Zitat:

Das verstehe ich noch nicht ganz, also wird ja doch über den Grenzwert und nicht die Norm argumentiert, oder was meinst du mit der Abschätzung der Normen?

Zitat:

Ja, so macht das Sinn. Irgendwie haben wir nur $\begin{eqnarray*} \lVert T \rVert \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} \lVert T \rVert = \sup \lVert T f \rVert \end{eqnarray*}$ , also für den Fall $\begin{eqnarray*} \lVert f \rVert = 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Da gibt es den grundlegenden Satz, dass ein beschränkter linearer Operator stetig ist. Den habt ihr sicher gehabt. Es gilt auch umgekehrt: Ein stetiger linearer Operator ist beschränkt.

Stimmt, das habe ich jetzt auch gefunden. Könnte ich dann nicht auch einfach argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} \lVert T \rVert \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \lVert Tf \rVert_{\infty} = n \leq \lVert f \rVert_{C} = \frac{1}{n} + n \end{eqnarray*}$ beschränkt und daher stetig ist?

26.07.2022, 18:45

Huggy

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RE: Stetigkeit einer linearen Abbildung

Zitat:

Original von tr
Das verstehe ich noch nicht ganz, also wird ja doch über den Grenzwert und nicht die Norm argumentiert, oder was meinst du mit der Abschätzung der Normen?

Das Kriterium für die Stetigkeit ist die Gleichheit der beiden Ausdrücke von mir. Wären sie gleich, müssten auch ihre Normen gleich sein. Man zeigt, dass ihre Normen nicht gleich sein können. Also können auch die beiden Ausdrücke nicht gleich sein. Also ist die Stetigkeit nicht gegeben.

Zitat:

Mir scheint, du willst mit der Beispielfolge aus a) argumentieren. Das nützt aber nichts. Bei a) sollte die Stetigkeit widerlegt werden. Da genügt ein Gegenbeispiel. Bei b) soll aber die Stetigkeit gezeigt werden. Da genügt es nicht zu zeigen, dass sie für eine Beispielfolge gegeben ist.

27.07.2022, 11:29

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RE: Stetigkeit einer linearen Abbildung

Zitat:

Sorry wenn ich hier noch etwas auf dem Schlauch stehe und nochmal nachhaken muss. Wieso genau wären die Normen automatisch gleich, wenn die Ausdrücke mit dem Grenzwert gleich sind? Ist das bei jeder Norm so oder liegt es daran, dass es sich hier um die Unendlich-Norm handelt? Und warum muss ich dann über die Normen argumentieren, ich kann doch einfach direkt zeigen, dass die Grenzwerte nicht gleich sind?

Zitat:

Bei b) soll aber die Stetigkeit gezeigt werden. Da genügt es nicht zu zeigen, dass sie für eine Beispielfolge gegeben ist.

Oh man, das stimmt natürlich Finger1

Danke! Die Bedingung für Beschränktheit $\begin{eqnarray*} \lVert Tf \rVert \leq C \lVert f \rVert \end{eqnarray*}$ mit einer Konstanten C ist für die Normen ja aber auch im allgemeinen Fall erfüllt, oder?

27.07.2022, 12:32

Huggy

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RE: Stetigkeit einer linearen Abbildung

Zitat:

Original von tr
Und warum muss ich dann über die Normen argumentieren, ich kann doch einfach direkt zeigen, dass die Grenzwerte nicht gleich sind?

Bei dieser konkreten Beispielfolge geht das natürlich. Es wird aber nicht immer so einfach sein zu erkennen, dass die Grenzwerte nicht gleich sind. Der Weg über die Normen wird oft einfacher sein.

Zitat:

Die Bedingung für Beschränktheit $\begin{eqnarray*} \lVert Tf \rVert \leq C \lVert f \rVert \end{eqnarray*}$ mit einer Konstanten C ist für die Normen ja aber auch im allgemeinen Fall erfüllt, oder?

Ja. Der Nenner in der Definition von $\begin{eqnarray*} ||T|| \end{eqnarray*}$ ist für die betrachteten Normen ja $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ dem Zähler, weil im Nenner ein nicht negativer Summand zum Zähler addiert wird.

27.07.2022, 14:47

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RE: Stetigkeit einer linearen Abbildung

Zitat:

Der Weg über die Normen wird oft einfacher sein.

Okay also nur nochmal zur Klarstellung, die Gleichheit der Grenzwerte stimmt immer mit der Gleichheit der Normen überein, egal um welche Norm es sich handelt?

27.07.2022, 15:13

Huggy

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RE: Stetigkeit einer linearen Abbildung
So stimmt das natürlich nicht!

Wenn die Grenzwerte gleich sind, müssen auch ihre Normen gleich sein. Sind die Normen nicht gleich, ist die Annahme gleicher Grenzwerte widerlegt. Das ist das Beweisschema der Musterlösung bei a).

Sind die Normen gleich, können die Grenzwerte trotzdem verschieden sein. Triviales Beispiel: Vektoren gleicher Länge (mit gleichem Betrag) müssen nicht gleich sein.

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