Konvergenzbeweis mit Definition

09.08.2022, 21:37

Sunv2

Konvergenzbeweis mit Definition

Meine Frage:
Zeigen Sie mithilfe der Definition von Konvergenz, dass die Folge
$\begin{eqnarray*} x_{n}:=1 -\exp (-n) \end{eqnarray*}$

für n gegen unendlich gegen den Grenzwert $\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert

Meine Ideen:
Bin ich hier richtig vorgegangen und ist die Beweisführung nachvollziehbar?
(Formuliere denke oft zu knapp weil ich nichts 'unnötiges' aufschreiben will)

09.08.2022, 21:46

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Passt, nicht zuviel und nicht zuwenig, alles richtig und nichts falsch.(Fehlt da noch ein Vorzeichen in der Definition von $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ) ?

09.08.2022, 22:20

Sunv2

Auf diesen Beitrag antworten »

Super vielen Dank

Nein fehlt keins, oder fragst du wegen meinem krummen Minuszeichen vor dem n in der Klammer?

09.08.2022, 22:38

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, ich hielt das krumme Minus für den Aufstrich des n.

10.08.2022, 01:36

epsilontiker

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Festlegung $\begin{eqnarray*} N=\lceil ln(\frac{1}{\epsilon}) \rceil \end{eqnarray*}$ gibt es meiner Ansicht nach Probleme für $\begin{eqnarray*} N > \frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \epsilon=e^{-z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ , denn dadurch entsteht eine Gleichheit der Terme.
Durch eine Addition nach der Rundungsklammer mit beispielsweise 1 bekommt man das aber in den Griff.

In punkto Nachvollziehbarkeit wäre mir dein Aufschrieb zu wenig.
Klar stehen dort die meisten relevanten Schritte, jedoch wirkt das ohne den ein oder anderen Verknüpfungsatz/Kommentar alles ein wenig wie ein Puzzle, das man sich dann selbst zusammensetzen bzw. den Rest selbst dazu denken darf.

10.08.2022, 01:48

epsilontiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur:

Zitat:

In der Festlegung $\begin{eqnarray*} N=\lceil ln(\frac{1}{\epsilon}) \rceil \end{eqnarray*}$ gibt es meiner Ansicht nach Probleme für $\begin{eqnarray*} N > ln(\frac{1}{\epsilon}) \end{eqnarray*}$ ...

10.08.2022, 08:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut aufgepasst - ist zwar nicht essentiell für diese Aufgabe, aber es sollte schon alles korrekt sein. Alternativ würde es auch $\begin{eqnarray*} N = \left\lfloor \ln\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rfloor+1 \end{eqnarray*}$ tun, das wäre dann in jedem Fall das kleinstmögliche $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e^{-n}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ .

10.08.2022, 10:53

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

Üblicherweise fordert man, dass $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . D.h. man sollte sowas wie $\begin{eqnarray*} N = \max\left\{0, \left\lfloor \ln\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rfloor+1\right\} \end{eqnarray*}$ , wobei ich annehme, dass $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Ansonsten $\begin{eqnarray*} N = \max\left\{\min \mathbb N, \left\lfloor \ln\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rfloor+1\right\} \end{eqnarray*}$ agnostisch davon, ob 0 natürlich sein soll oder nicht.

10.08.2022, 12:50

epsilontiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Vorschlag für eine Lösung der Aufgabe wäre wie folgt:

Die gegebene Folge mit der Vorschrift $\begin{eqnarray*} x_n=1-e^{-n}=1-\frac{1}{e^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen a=1 falls gilt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \ ~ \exists N \in \mathbb N : |x_n-a|< \epsilon \ ~ \forall n \geq N \end{eqnarray*}$

Gesucht ist demnach eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^+ \to \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\epsilon)=N \end{eqnarray*}$ , die die obige Bedingung erfüllt.

Wegen $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^n>0 \end{eqnarray*}$ so wie der Monotonie der e-Funktion gilt somit $\begin{eqnarray*} |x_n-a|=|1-\frac{1}{e^n}-1|=\frac{1}{e^n} \leq \frac{1}{e^N} \end{eqnarray*}$

Andererseits gilt ebenso $\begin{eqnarray*} 0<\frac{1}{e^N}< \epsilon \iff e^N>\frac{1}{\epsilon} \iff N > ln(\frac{1}{\epsilon}) \end{eqnarray*}$

Wählt man nun also $\begin{eqnarray*} f(\epsilon)=N=\lceil ln(\frac{1}{\epsilon}) \rceil +1 \end{eqnarray*}$ , dann ergibt sich final für alle $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0<|x_n-a|=|1-\frac{1}{e^n}-1|=\frac{1}{e^n} \leq \frac{1}{e^N}=\frac{1}{e^{\lceil ln(\frac{1}{\epsilon}) \rceil +1}}<\frac{1}{e^{ln(\frac{1}{\epsilon})}}=\frac{1}{\frac{1}{\epsilon}}=\epsilon \end{eqnarray*}$

und damit die Konvergenz gegen a=1.

Die Mathematiker im Forum dürfen das gerne bewerten, denn ich bin kein studierter Mathematiker sondern nur ein Interessierter mit Mathewissen auf Schulniveau, der das hier mal versucht hat niederzuschreiben.

Was würdet ihr von einem Studenten verlangen, damit er/sie die volle Punktzahl für die Aufgabe bekommt ?
Reicht da die Lösung von Sunv2 und ich sehe das zu kritisch ?

10.08.2022, 14:20

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Existenzquantor verlangt nur die Existenz eines $\begin{align*} N \end{align*}$ , so daß für alle $\begin{align*} n \geq N \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} \left| a_n - a \right| < \varepsilon \end{align*}$ . Nirgendwo wird verlangt, ein minimales $\begin{align*} N \end{align*}$ zu bestimmen. Deswegen bin ich etwas irritiert, mit welcher Vehemenz viele hier auf der expliziten Bestimmung des minimalen $\begin{align*} N \end{align*}$ bestehen. Es sollte doch gerade das Ziel sein, einen angehenden Studenten davon abzubringen, explizite Rechnungen durchzuführen. Vielmehr geht es darum, sich davon zu überzeugen, daß "schließlich" alle Folgenglieder "hinreichend nahe" bei $\begin{align*} a \end{align*}$ liegen. Und zu erkennen, daß die in Anführungszeichen stehenden heuristischen Begriffe durch geeignete Quantoren logisch korrekt gefaßt werden: $\begin{align*} \exists \, N \, \forall \, n \geq N \ \, \ldots \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} \forall \, \varepsilon > 0 \, \ldots \, \left| a_n - a \right| < \varepsilon \end{align*}$

Mir würde es hier genügen, etwa ab

$\begin{align*} \operatorname{e}^n > \frac{1}{\varepsilon} \end{align*}$

zu argumentieren: Diese Ungleichung ist für schließlich alle $\begin{align*} n \end{align*}$ erfüllt, und dabei auf geeignete Eigenschaften der Exponentialfunktion zu verweisen. Selbstverständlich kann man auch mit dem natürlichen Logarithmus arbeiten, womit man sozusagen die schärfste Eigenschaft der Exponentialfunktion heranzieht, und das minimale $\begin{align*} N \end{align*}$ bestimmen.

10.08.2022, 17:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leopold
Deswegen bin ich etwas irritiert, mit welcher Vehemenz viele hier auf der expliziten Bestimmung des minimalen $\begin{align*} N \end{align*}$ bestehen.

Wer soll das denn sein? Oder ist das nur die gängige Übertreibung? Augenzwinkern

10.08.2022, 18:18

epsilontiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Mir würde es hier genügen, etwa ab $\begin{eqnarray*} e^n>\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ zu argumentieren:
Diese Ungleichung ist für schließlich alle n erfüllt, und dabei auf geeignete Eigenschaften der Exponentialfunktion zu verweisen.

Du meinst dann sowas wie das Ausnutzen des Wertebereichs $\begin{eqnarray*} W=\mathbb R ^+ \end{eqnarray*}$ , der wegen der Monotonie von $\begin{eqnarray*} e^n \end{eqnarray*}$ voll ausgeschöpft wird und damit automatisch für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ irgendeine größere Zahl $\begin{eqnarray*} e^n \end{eqnarray*}$ existieren muss ?

Zitat:

Nirgendwo wird verlangt, ein minimales N zu bestimmen.

Ich kenn mich da nicht so aus und habe das nur mit eingebracht, weil es der Fragesteller auch getan hat und ich es ebenso in vielen Videos gesehen hatte.

Die Existenz für ein passendes n bei $\begin{eqnarray*} e^n>\frac{1}{\epsilon} \end{eqnarray*}$ mit dem Archimedischen Axiom zu begründen, würde hier nicht funktionieren, oder ?

10.08.2022, 21:07

Sunv2

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Alternativ würde es auch $\begin{eqnarray*} N = \left\lfloor \ln\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rfloor+1 \end{eqnarray*}$ tun, das wäre dann in jedem Fall das kleinstmögliche $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} e^{-n}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ .

Das hatte ich auch überlegt, aber mir ist ehrlich gesagt der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} N = \left\lfloor \ln\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rfloor+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N = \left\lceil \ln\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)\right\rceil \end{eqnarray*}$ intuitiv nicht ganz klar.
In meinem Kopf denke ich, dass es keinen Unterschied macht, ob wir jetzt bspw. eine Zahl zwischen 0 und 1 auf 0 runden und + 1 rechnen oder direkt auf 1 runden - was übersehe ich dabei?

11.08.2022, 07:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du übersiehst genau jenen Ausnahmefall, den epsilontiker oben angegeben hatte:

Zitat:

Original von epsilontiker
In der Festlegung $\begin{eqnarray*} N=\lceil ln(\frac{1}{\epsilon}) \rceil \end{eqnarray*}$ gibt es meiner Ansicht nach Probleme für $\begin{eqnarray*} N > \ln(\frac{1}{\epsilon}) \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} \epsilon=e^{-z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ , denn dadurch entsteht eine Gleichheit der Terme.

Und $\begin{eqnarray*} =\varepsilon \end{eqnarray*}$ darf eben nicht sein, da $\begin{eqnarray*} <\varepsilon \end{eqnarray*}$ gefordert ist. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzbeweis mit Definition

Verwandte Themen