Orthogonalbasis gesucht

23.08.2022, 11:05

HiBee123

Orthogonalbasis gesucht

Halli Hallo Wink

folgende Matrix ist gegeben.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Jetzt soll eine Matrix S bestimmt werden, so dass SMS^{-1} Diagonalgestalt hat. Das hab ich gemacht und komme für S auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 2 &1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Insbesondere soll S aber Orthogonalbasis sein. Zufälligerweise klappt das hier gerade mit dem Standardskalarprodukt. Meine Frage wäre, wie man vorgehen muss, wenn S noch keine Orthogonalgestalt hat... Gram-Schmidt? bleibt dann die Eigenschaft erhalten, dass OSO^{-1} Diagonalmatrix ist?

p.s.: An dieser Stelle wollte ich mich mal für eure zahlreiche Hilfe bedanken. Dankeschön! Ich hoffe ich geh euch mit meinen Fragen nicht auf die Nerven... Ich mach gerade Klausurvorbereitung und ihr seid mir eine RIESEN Hilfe! smile

23.08.2022, 11:16

IfindU

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RE: Orthogonalbasis gesucht
Du könntest nachträglich Gram-Schmidt anwenden. Du könntest es aber vermutlich direkt bei der Berechnung von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ mitmachen. Die Matrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ besteht spaltenweise aus den (liner unabhängigen) Eigenvektoren der Startmatrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind immer orthogonal zueinander, d.h. du müsstest nur zu jedem Eigenwert schauen, dass du nicht nur zwei linear unabhängige Eigenvektoren nimmst, sondern zwei orthogonale Eigenvektoren.

Das könntest du auch nachträglich machen, da muss man aber erst überlegen warum das ganze überhaupt funktioniert Augenzwinkern

23.08.2022, 11:16

HAL 9000

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Zitat:

Original von HiBee123
Zufälligerweise klappt das hier gerade mit dem Standardskalarprodukt.

Sieht vielleicht wie Zufall aus, ist aber keiner: Sind die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix paarweise verschieden, dann sind die zugehörigen Eigenvektoren automatisch orthogonal zueinander. Augenzwinkern

Lediglich im Fall von übereinstimmenden Eigenwerten muss man im zugehörigen Eigenraum evtl. eine Orthogonalisierung (i.d.R. mit Gram-Schmidt) vornehmen.

23.08.2022, 13:20

HiBee123

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Ach so okay, Danke.

Allerdings... ein bisschen zufällig ist es ja schon, oder? Schließlich habe ich den Eigenwert 6 mit algebraischer Vielfachheit 2... Das heißt doch meine zwei Vektoren , die den Eigenraum aufspannen müssen nicht zwangsläufig orthogonal sein... oder doch?

23.08.2022, 13:32

HAL 9000

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Nein, nicht zwangsläufig. Da hier aber die 6 links oben wirklich so "separiert" auf die erste Komponente wirkt, und der Nichtnull-Rest der Matrix nur auf die zweite und dritte Komponenten, ist es wohl auch wiederum kein Zufall, dass es dann doch so klappt.

23.08.2022, 13:48

HiBee123

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Ah ja. Ich glaube ich sehe was du meinst.. guter Hinweis. Freude

23.08.2022, 13:50

IfindU

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RE: Orthogonalbasis gesucht

Zitat:

Original von HiBee123
Halli Hallo Wink

@HAL Führt diese Separiertheit nicht nur dazu, dass man über die üblichen Methoden auf die orthogonalen Eigenvektoren kommt anstatt es zwingend notwendig zu machen?

So müsste
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1& 1 & 0 \\ 0 & 2 &1 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auch eine zulässige Transformationsmatrix sein und hier stehen die ersten beiden Spalten nicht senkrecht aufeinander.

23.08.2022, 14:04

HAL 9000

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Die Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ kann man in zwei Blockmatrizen 1x1 und 2x2 zerlegen, und die obige Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ auch (das meinte ich mit "separieren") - während das auf dein jetzt verändertes $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nicht mehr zutrifft. Das kann man jetzt endlos weiter analysieren, wozu ich eigentlich keine Lust verspüre. Augenzwinkern

23.08.2022, 14:04

HiBee123

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RE: Orthogonalbasis gesucht
Ne du. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1& 1 &0 \\0 & 2 & 1 \\ 0 &1 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist keine gültige Transformationsmatrix. Hab es gerade mal in Matrixcalc reingehauen:

23.08.2022, 14:10

HAL 9000

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RE: Orthogonalbasis gesucht
@HiBee123

Du hast $\begin{eqnarray*} S\cdot M\cdot S^{-1} \end{eqnarray*}$ gerechnet, musst stattdessen aber $\begin{eqnarray*} S^{-1}\cdot M\cdot S \end{eqnarray*}$ rechnen. Und da kommt tatsächlich eine Diagonalmatrix raus - was kein Wunder ist, da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ den Eigenraum zu Eigenwert 6 aufspannen, in dem auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ liegt. Augenzwinkern

23.08.2022, 14:15

HiBee123

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RE: Orthogonalbasis gesucht
Ach so ja stimmt... Ich Ochse.
Tschuldigung und danke für den Hinweis! smile

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