Punktweise und gleichmäßige Konvergenz zeigen

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Sam:) Auf diesen Beitrag antworten »
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz zeigen
Hallo,
ich habe ein paar Aufgaben gerechnet und komme nicht weiter.
Ich will auf punktweise bzw gleichmäßige Konvergenz prüfen bei
a) g_n(x)= nx(1-x^2)^n mit x aus [0,1]. hier habe ich die Aufgabe für gleichmäßige Konvergenz schon geöst (nicht gleichm konvergent. das habe ich mit der Ableitung berechnet und dann das Extremum eingesetz usw.) aber wir prüfe ich hier überhaupt auf punktweise konvergenz? für x= 1 und x= 0 ist das klar. aber für x aus (0,1) hab ich keine Ahnung.
b) sin(x/n) für x aus [0,100]. für punktweise kann ich ja einfach sagen sin(x/n)-> 0 weil x fest ist und dann x/n gegen 0 geht und sin(0)= 0. Aber kann ich für gleichmäßige Konvergenz sagen, dass x ja nur zwischen 0 und 1000 liegt und daher das gleiche gilt? Wie kann ich das mathematisch begründen?
danke schonmal,
Sam
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a) Du musst nachweisen, dass im Parameterfall eine Nullfolge ist, d.h., dass das geometrisch sinkende letztlich den schwach steigenden Faktor dominiert.


Zu b) Es ist für alle reellen , damit gilt für alle



für alle in Frage kommenden und . Das sichert gleichmäßige Konvergenz gegen 0.
Sam:) Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. ich habe leider keine Idee, wie ich zeigen kann, ob na*n gegegn 0 geht für 0<a<1
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Manche argumentieren da "hinten durch die Brust ins Auge" indem sie zeigen, dass konvergiert (entweder via Quotienten- oder Wurzelkriterium), und dass daher notwendig die Reihengliedfolge eine Nullfolge sein muss. Kann man so machen.

Andere Begründung: Für gibt es mit , damit gilt für alle laut Binomischen Satz

für .
Sam:) Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön. Jetzt hab ich die Aufgabe verstanden
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