Konvergenz von Funktionenfolgen und Reihen

31.08.2022, 00:00	Sam:)	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Funktionenfolgen und Reihen Ich habe noch mal ein paar Aufgaben, bei denen ich mir unsicher bin. Ich soll auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen. a) h_n(x): R -> R h_n(x) = max {0, n-n^2\|x-1/n\|} mein Ansatz für punktweise Konvergenz: für alle x für die gilt max {0, n-n^2\|x-1/n\|} = 0 konvergiert die Folge sowieso offensichtlich gegen 0. für anderen Fall n-n^2\|x-1/n\| > 0 gilt dann n>n^2\|x-1/n\| also x>0 und x< 2/n, da dies für alle n der natürlichen zahlen gilt, folgt dass die Funktionenfolge insgesamt für alle x aus R gegen die Nullfunktion konvergiert. Ist damit dann schon die gleichmäßige Konvergenz gezeigt, weil die Funktionenfolge ja an sich schon das Maximum angibt? b) Ich soll die gleichmäßige Konvergenz dieser Reihe zeigen: Summe von n= 1 bis unendlich von (1-x^2)^n/((2n+1)(2n-1)) Hier habe ich überhaupt keinen Ansatz
31.08.2022, 09:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Du hattest ähnlich konstruierte Funktionen doch auch im anderen Thread, auch hier ist ein Gegenargument zur gleichmäßigen Konvergenz gegen die Grenzfunktion 0 doch analog zu finden, nämlich $\begin{eqnarray} h_n\left(\frac{1}{n}\right) = n \end{eqnarray}$ . b) Hier fehlt eine (einschränkende) Angabe zu $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ : Für $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ ist diese Reihe gewiss nicht konvergent, und damit insgesamt auch nicht gleichmäßig konvergent.
31.08.2022, 10:03	Sam:)	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu a) das mit 1/n habe ich nicht gesehen.Damit ist die Funktionenfolge natürlich nicht konvergent. zu b) ich habe vergessen zu sagen, dass x aus [-1,1] sein soll
31.08.2022, 14:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann ist b) doch sehr einfach: Für $\begin{eqnarray} x\in [-1,1] \end{eqnarray}$ liegt hier eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern $\begin{eqnarray} a_n = \frac{(1-x^2)^n}{(2n+1)(2n-1)} \end{eqnarray}$ vor, wobei $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ nach oben durch das von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ unabhängige $\begin{eqnarray} b_n = \frac{1}{(2n+1)(2n-1)} \end{eqnarray}$ abgeschätzt werden kann. Bleibt nur noch die Konvergenz von $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \end{eqnarray}$ zu zeigen, was ja wohl kein Problem sein sollte. (Tatsächlich lässt sich von dieser Teleskopreihe sogar unmittelbar der Reihenwert $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ angeben.)
31.08.2022, 15:29	Sam:)	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte ich das so zeigen: 1/((2n+1)(2n-1)) = 1/(4n^2+1) <= 1/4n^2 und die Reihe davon geht gegen pi^2/24 weil 1/n^2 gegen pi^2/6 geht?
01.09.2022, 09:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du falsch gerechnet: Tatsächlich ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{1}{4n^2-1} > \frac{1}{4n^2} \end{eqnarray}$ , diese Abschätzungsrichtung ist für dein Ziel unbrauchbar. Meinen Hinweis mit der Teleskopreihe hast du wohl nicht für voll genommen: Es ist $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)-(2n-1)}{(2n+1)(2n-1)} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\cdot 1-1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ .
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