Erwartungswert

14.09.2022, 20:26

HiBee123

Erwartungswert

Hallo Matheboard,

ich weiß bei der folgenden Aufgabe einfach nicht weiter...

Idee:
Ich glaube mir fehlt da irgendein zusammenhang zwischen Erwartungswert
und Zähldichte...

14.09.2022, 20:50

HAL 9000

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Dazu muss man überhaupt nicht rechnen: Beschränkte Zufallsgrößen besitzen grundsätzlich alle Momente $\begin{eqnarray*} E\left(X^k\right) \end{eqnarray*}$ , ganz gleich wie groß Exponent $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist.

Aber wenn dich die genauen Werte interessieren: Für diskrete Zufallsgrößen wie dein $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} E\left(g(X)\right) = \sum_{t\in\,\operatorname{supp}\left(P^X\right)} g(t)\cdot P(X=t) \end{eqnarray*}$

wobei in der Schreibweise der Aufgabe ja $\begin{eqnarray*} P(X=t) = f^X(t) \end{eqnarray*}$ ist. Das gilt auch für die Potenzfunktionen $\begin{eqnarray*} g(t)=t^k \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Auch ohne Kenntnis der genauen Verteilung kann man übrigens sofort

$\begin{eqnarray*} \left| E\left(g(X)\right)\right| \leq \sup_{t\in\,\operatorname{supp}\left(P^X\right)} \left|g(t)\right| \end{eqnarray*}$

abschätzen (leicht nachweisbar mit Dreiecksungleichung), was im vorliegenden Fall etwa $\begin{eqnarray*} \left| E\left(X^k\right)\right| \leq 2^k \end{eqnarray*}$ bedeutet.

15.09.2022, 12:04

HiBee123

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Ach super! Ich glaub ich hab die Aufgabe jetzt verstanden. also ist die Antwort die Menge
{2,...,11}.

Aber der Begriff "Moment" irritiert mich noch. Bei uns wird das k-te Moment von X um c definiert als
$\begin{eqnarray*} E(X-c)^k \end{eqnarray*}$ du hingegen hast es jetzt als $\begin{eqnarray*} E(X^k) \end{eqnarray*}$ verwendet. Also ich gehe mal davon aus, dass c=0 aber dann haben wir immer noch $\begin{eqnarray*} E(X)^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X^k) \end{eqnarray*}$ Wieso ist das das Gleiche?

15.09.2022, 13:18

HAL 9000

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Wenn kein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ genannt wird, geht es um $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ . Es gibt auch noch den Begriff des $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten zentralen Moments, in dem Fall meint man $\begin{eqnarray*} c=E(X) \end{eqnarray*}$ . Z.B. entspricht die Varianz dem zweiten zentralen Moment.

15.09.2022, 13:29

HiBee123

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okay. aber wieder haben wir Var X:=E[(X-EX)^2], während das 2. zentrale Moment bei mir als
E[(X-EX)]^2 definiert wird,... ich hatte mich halt gewundert warum dies das gleiche Objekt ist...

15.09.2022, 13:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von HiBee123
E[(X-EX)]^2

Diese Schreibweise lehne ich rundweg ab, weil sie widersprüchlich ist: Der eine versteht darunter $\begin{eqnarray*} E\left((X-EX)^2\right) \end{eqnarray*}$ , der andere aber $\begin{eqnarray*} \left(E(X-EX)\right)^2 \end{eqnarray*}$ ... nicht gut. unglücklich

Das ist genauso ein Mist wie $\begin{eqnarray*} \cos(x)^2 \end{eqnarray*}$ u.ä.

15.09.2022, 13:58

HiBee123

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okay, das erklärt so einiges. Ich glaube mein Professor meinte mit der Schreibweise ersteres, das würde dann auch die Sache mit der Varianz erklären. Ich hingegen dachte er meint zweiteres und konnte mich nur wundern...

15.09.2022, 14:08

HAL 9000

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Die zweite Interpretation ist gerade hier ziemlich sinnlos, denn es gilt ja stets $\begin{eqnarray*} \left(E(X-E(X))\right)^2 = \left(E(X)-E(X)\right)^2 = 0 \end{eqnarray*}$ .

15.09.2022, 14:28

HiBee123

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Alles klar. Dankeschön Wink

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