Matrixnorm

14.10.2022, 20:08

HiBee123

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Matrixnorm

Hallo liebes Matheboard, smile

smile

Ich soll zeigen, dass die Matrixnorm wohldefiniert, also eine positive reelle Zahl ergibt.

$\begin{eqnarray*} ||A||:= sup_{x\in \mathbb{R}^n:||x||=1}||Ax||= sup_{x\in \mathbb{R}^n:||x||\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||} \end{eqnarray*}$

Was soll ich, denn hier noch zeigen? :? Ist das nicht offensichtlich? ich teile eine Norm durch eine andere Norm und bilde hierüber das Supremum. Reicht das wenn ich so argumentiere? Ich versteh einfach nicht was genau ich hier eigentlich zeigen soll.

Oder soll ich vielleicht auch noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} sup_{x\in \mathbb{R}^n:||x||=1}||Ax||= sup_{x\in \mathbb{R}^n:||x||\neq 0}\frac{||Ax||}{||x||} \end{eqnarray*}$ ist?

Gruß,
eure HiBee

14.10.2022, 22:02

Finn_

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Es geht wohl darum, ob $\begin{eqnarray*} \|Ax\| \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der »Einheitssphäre« beschränkt bleibt. Der Wert darf nicht beliebig groß werden.

15.10.2022, 08:47

HiBee123

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Eine stetige Funktion auf einem beschränkten Intervall ist beschränkt... ist es das?

15.10.2022, 09:09

IfindU

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$\begin{eqnarray*} f \colon (0,1) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 1 x \end{eqnarray*}$ ist eine stetige Funktion auf einem beschränkten Intervall. Und dennoch unbeschränkt. Nächster Versuch Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.10.2022, 09:12

HiBee123

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ach so... ich meinte natürlich ein abgeschlossenes Intervall...

15.10.2022, 09:14

IfindU

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Zitat:

Original von HiBee123
ach so... ich meinte natürlich ein abgeschlossenes Intervall...

$\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ ist eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall. Und dennoch unbeschränkt. Nächster Versuch Augenzwinkern

Augenzwinkern

( $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist abgeschlossen und offen bzgl. Standardtopologie)

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15.10.2022, 09:22

HiBee123

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Und wenn ich beides kombiniere? Dann müsste es doch passen:
Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen, beschränkten Intervall ist beschränkt.

aber bringt mich das hier überhaupt weiter? Erstmal müsste ich ja zeigen, dass der Einheitkreis abgeschlossen und beschränkt ist. beschränkt ist klar. weil jedes x betraglich kleiner als zwei ist... und abgeschlossen, naja die Menge ohne den Einheitskreis ist offen. (reicht das für die abgeschlossenheit? oder muss ich die abgeschlossenheit noch beweisen?)

15.10.2022, 09:29

IfindU

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Abgeschlossen und beschränkt. Hier finde ich (im endlich-dimensionalen) tatsächlich kein Gegenbeispiel mehr. Das Zauberwort hier wäre Kompatkheit. Heine-Borel garantiert, dass die Begriffe im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ das gleiche bedeuten, aber das muss nicht zwingend sein.

Zitat:

Original von HiBee123
... und abgeschlossen, naja die Menge ohne den Einheitskreis ist offen. (reicht das für die abgeschlossenheit? oder muss ich die abgeschlossenheit noch beweisen?)

Das Argument reicht nicht. Ich kann eine offene Menge $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ und eine davon disjunkte Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ nehmen. Dann ist $\begin{eqnarray*} ( O \cup U) \setminus U \end{eqnarray*}$ eine offene Menge, egal wie $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ konkret aussieht.

Vorschlag: Nimm Folgen-Abgeschlossenheit: Für jede konvergente Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \| x_n\| = 1 \end{eqnarray*}$ und Grenzwert $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \| x\| = 1 \end{eqnarray*}$ . Die Begründung hierzu hast du auch bei der Vollständigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ nutzen müssen (Normen sind stetig).

15.10.2022, 09:38

HiBee123

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Bist du dir sicher, dass es nicht reicht? Ich meinte wenn man U offen hat, das dann sofort R\U abgeschlossen ist... Ich glaube das hatten wir sogar irgendwo so definiert...

15.10.2022, 09:45

IfindU

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Das Komplement einer offenen Menge ist abgeschlossen. Das stimmt. Du agierst hier erst einmal im Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und damit erfolgt die Komplementbildung relativ hierzu.

D.h. mit deinem Argument folgt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \setminus \{ x \in \mathbb R^n | \|x\| < 1 \} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist. Das ist aber $\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb R^n | \|x\| \geq 1 \} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb R^n | \|x\| =1 \} \end{eqnarray*}$ was du gerne hättest.

Edit: Tatsächlich könntest du natürlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb R^n | \|x\| < 1 \} \bigcup \{ x \in \mathbb R^n | \|x\| > 1 \} \end{eqnarray*}$ offen ist. Dann funktioniert dein Argument.

15.10.2022, 09:49

Elvis

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Dass der Tangens auf dem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [0, \pi] \end{eqnarray*}$ beschränkt ist darf bezweifelt werden. Die Begründung muss etwas mit linearen Abbildungen zu tun haben.

15.10.2022, 09:51

HiBee123

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Nein, so war das nicht gemeint. Ich argumentiere, dass

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \setminus( \{ x \in \mathbb R^n | \|x\| < 1 \}\bigcup \{ x \in \mathbb R^n | \|x\| > 1 \}) \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.
und das ist gerade $\begin{eqnarray*} \{ x \in \mathbb R^n | \|x\| =1 \} \end{eqnarray*}$

15.10.2022, 09:51

IfindU

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Zitat:

Original von Elvis
Dass der Tangens auf dem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [0, \pi] \end{eqnarray*}$ beschränkt ist darf bezweifelt werden. Die Begründung muss etwas mit linearen Abbildungen zu tun haben.

Der Tangens ist auf dem Intervall entweder nicht mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ als Zielbereich wohldefiniert, oder er ist nicht stetig. Jede stetige, reellwertige Funktion auf einem Kompaktum nimmt Minimum und Maximum an.

Edit: @HiBee123 So kannst du natürlich argumentieren. Freude

Freude

(Natürlich musst du zeigen, dass die Menge dort offen ist.. Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

15.10.2022, 13:37

HiBee123

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Gut. die nächsten Teilaufgaben sind klar. dann kommt eine Aufgabe zu zeigen, dass
||AB||<= ||A|| * ||B|| ist. Da hänge ich gerade etwas...

15.10.2022, 13:53

IfindU

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Was hast du denn probiert?

Hinweis: Falls $\begin{eqnarray*} f,g \geq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \sup_x \left [ f(x)g(x)\right] \leq \sup_y f(y) \cdot \sup_z g(z) \end{eqnarray*}$

15.10.2022, 14:16

HiBee123

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Also ich hab probiert es auszuschreiben und daraus zu schließen,
||AB||:= $\begin{eqnarray*} sup_{x\in \mathbb{R}^n:||x||=0}||ABx|| \end{eqnarray*}$
und jeweils ||A||:= $\begin{eqnarray*} sup_{x\in \mathbb{R}^n:||x||=0}||Ax|| \end{eqnarray*}$
||B||:= $\begin{eqnarray*} sup_{x\in \mathbb{R}^n:||x||=0}||Bx|| \end{eqnarray*}$

wenn ich natürlich ||AxBx|| hätte kannte ich deine Bemerkung schon und ich wäre fertig. blöderweise steht da aber ||ABx|| wie kann ich das jetzt sinnvoll abschätzen? Da harkts.

15.10.2022, 14:21

IfindU

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Du meinst natürlich das Supremum über alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|x\| = 1 \end{eqnarray*}$ .

Falls $\begin{eqnarray*} Bx \neq 0 \end{eqnarray*}$ kannst du schreiben:
$\begin{eqnarray*} \| ABx \| = \| A (Bx) \| = \| A \frac{Bx}{\|Bx\|} \| \cdot \|Bx\| = \| A y \|\cdot \|Bx\| \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y = \frac{Bx}{\|Bx\|} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \|y\| = 1 \end{eqnarray*}$ .

15.10.2022, 15:21

HiBee123

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Ach supi, Dankeschön! Wink

Wink

Den Trick merk ich mir!

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