Obere Schranke für Integral

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Der_Apfel Auf diesen Beitrag antworten »
Obere Schranke für Integral
Ich soll in einer Aufgabe für dieses Integral



wobei , und

die obere Schranke



bestätigen.

Was ich bis jetzt habe:

- Da f höchstens 1 sein kann, ist
- ist am größten für n = 1
- Also ist das äquivalent zu

Aber wie bekomme ich den Maximalwert des Integrals? Die Funktion f selbst ist nicht gegeben, nur dass
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Obere Schranke für dieses Integral
Du kannst nachrechnen, dass ist (falls .
Vlt hilft das wie man das Integral abschätzen kann. Du brauchst nicht, dass ist. (Es kann auch nicht helfen, wenn man nicht stärkere Regularität an fordert, z.B. .)
Der_Apfel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke - das hat mir weiter geholfen.

Wenn es nun darum geht

zu bestimmen - wie gehe ich da vor?

Ich hab das so umgeformt:



Wenn nun dann



aber wenn dann



Konvergiert das überhaupt?

Angeblich wäre nämlich

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Obere Schranke für Integral
Du hast schon gezeigt, dass
, daraus folgt sofort und damit .
Die Grenzfunktion (sofern sie existiert) kann also nirgends größer sein als der höchste Punkt von , insb. nicht .

Beim Integrieren läuft das von bis . Insbesondere ist immer. D.h. den anderen Fall müsste man gar nicht beachten.

Wie man es beweisen kann: Nehmen wir erst einmal an, dass . Dann kann man partiell integrieren und erhält
.

Nun kann man recht leicht mit der vorigen Aussage zeigen, dass . (Denk dran: laut Voraussetzung.)

Damit hat man die Aussage für alle . Punktweise Konvergenz könnte ich mir auch für vorstellen, habe es aber nicht durchgerechnet. Nutze hierfür, dass dicht bzgl. ist.
Der_Apfel Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank - das hilft mir wirklich sehr!

Magst du noch kurz erklären was und ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Obere Schranke für Integral
Mit meine ich die stetigen Funktionen (in dem Fall kurz für ) und mit meine ich die stetig-differenzierbaren Funktionen (kurz für .)
 
 
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