Körperbeweis (Eigenschaften und Komplexe Zahlen)

01.11.2022, 09:25	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
Körperbeweis (Eigenschaften und Komplexe Zahlen) Meine Frage: Hallo nochmal an alle , Hier habe ich nochmal eine Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiterkomme bzw. schon Ansätze habe, gerne aber Feedback haben würde, ob diese richtig sind: Folgendes wird gefragt: 1. Sei K ein Körper; $\begin{eqnarray} a,b \in K \end{eqnarray}$ . Folgern Sie, dass aus ab=0 bereits a=0 oder b=0 folgt. 2. Folgern Sie, dass ein x ? K genau dann (x - a)(x - b) = 0 erfüllt, wenn $\begin{eqnarray} x \in {a,b} \end{eqnarray}$ 3. Sei nun konkret K = Körper der komplexen Zahlen : Berechnen Sie (x + i)(x - i). Zeigen Sie, dass ein x?K genau dann x^2 = -1 erfüllt, wenn $\begin{eqnarray} x \in {i,-i} \end{eqnarray}$ Gegeben sei nun: f : C ? C mit f(a)=a für alle $\begin{eqnarray} a \in R \end{eqnarray}$ ; f(a+b) = f(a) + f(b) und f(ab)=f(a)f(b) für alle $\begin{eqnarray} a,b \in C \end{eqnarray}$ 4. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} f(i) \in {i,-i} \end{eqnarray}$ 5. Zeigen Sie, dass f=id(C) oder f ist durch f(a+ib)=a-ib (mit $\begin{eqnarray} a,b \in R \end{eqnarray}$ ) gegeben. Meine Ideen:* Meine Ansätze: Zu 1.: Hier habe ich ab=0 => a=0 oder b=0 so bewiesen: Mit a?0: Es gilt, es gibt ein a^-1, damit a^-1a=1. ab=a^-1(ab)=0 => (a^-1a)b = 0 => 1b = 0 => b = 0. Analog zu b?0. Zu 2.: '<=': Sei x = a => (x-a)(x-b) = x2-xb-xa+ab=a2-ab-a2+ab = 0; Sei x = b =>(x-a)(x-b) = x2-xb-xa+ab=b2-b2-ba+a*b = 0 Weiter: '=>' : Wenn (x-a)(x-b)=0 => x-a=0 (durch (x-b) geteilt) => x=a. Analog zu b. Zu 3-5 habe ich, muss ich gestehen, keine richtigen Ansätze. Ich hatte die Hoffnung, dass ihr mir bei diesen Beweisen weiterhelfen könntet Ich bedanke mich schonmal für eure Antworten
01.11.2022, 10:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körperbeweis (Eigenschaften und Komplexe Zahlen) zu 1. Deine Idee mit dem Inversen von $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ ist richtig. Aber woher kommt die Gleichung ab=a^-1(ab)=0 ? Ich vermute Schlampigkeit. Übrigens brauchst du das nicht analog für $\begin{eqnarray} b\neq 0 \end{eqnarray}$ zu zeigen. Du hast es für $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ gezeigt und die Alternative $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ ist ja ein mögliches Ergebnis. zu 2. Es ist nicht geschickt auszumultiplizieren. Wenn x=a, dann ist doch x-a=0 also erst recht (x-a)(x-b)=0. Die Richtung => ist eine direkte Anwendung von 1. zu 3. Jetzt ist ausmultiplizieren von (x + i)(x - i) angesagt. Dann 2. anwenden. zu 4. Das schreit doch danach, 3. anzuwenden. Also zeige, dass $\begin{eqnarray} (f(i))^2=-1 \end{eqnarray}$ gilt zu 5. Das schreit doch danach, 4. anzuwenden
01.11.2022, 12:02	TryingToUnderstand	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körperbeweis (Eigenschaften und Komplexe Zahlen) Vielen Dank erstmal für deine (schnelle) Antwort Also zu 1.: Stimmt. Das 'ab=' habe ich zu Viel von meinem Ansatz auf Papier abgeschrieben. Sorry Zu 2.: Reicht es als Beweis aus, für x einfach a und b einzusetzen ? Das hatte ich am Anfang auch, dachte mir aber, dass es nicht als richtiger Beweis gilt, weil es ja nur Einsetzen ist Zu 3.: Ausmultipliziert ist (x + i)(x - i) mit bin. Formel = x^2 - i^2 = x^2 +1. Mit 2. Es gilt (x - a)(x - b) = 0 wenn $\begin{eqnarray} x \in {a,b} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} (x + i)(x - i) = (x - (-i))(x - i) = (x-a)(x-b) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in {-i,i} \end{eqnarray}$ muss gelten: $\begin{eqnarray} (x + i)(x - i) = 0 => x^2+1 = 0 => x^2 = -1 \end{eqnarray}$ Zu 4.: Hier habe ich es so gezeigt: $\begin{eqnarray} (f(i))^2 = f(i)f(i) = f(ii) = f(-1) = -1 \end{eqnarray}$ Da wie in Aufgabe gegeben $\begin{eqnarray} f(a)=a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall a \in R \end{eqnarray}$ Zu 5.: Beweis: $\begin{eqnarray} f(a+ib) = f(a)+f(ib) = a + (f(i)f(b)) = a + (-ib) = a-ib \end{eqnarray}$ Da wie in Aufgabe gegeben $\begin{eqnarray} f(a)=a \| f(b)=b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall a,b \in R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(i) \in {-i,i} \end{eqnarray*}$ Stimmt das so ? (Da die Rückbeweise mehr oder weniger einfach die Schritte Rückwärts sind, hab ich sie nicht extra hingeschrieben) Vielen Dank nochmal an dich URL (Btw. fühl ich mich etwas dumm, dass ich nicht darauf gekommen bin )
01.11.2022, 12:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körperbeweis (Eigenschaften und Komplexe Zahlen) zu 2. Streng genommen habe ich gar nicht eingesetzt Aber ja, einsetzen reicht natürlich. zu 3. Hier fehlt dir noch der Beweis, dass aus $\begin{eqnarray} x^2=-1 \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} x\in\{-i,i\} \end{eqnarray}$ folgt. Aber das hast du auch festgestellt, sehe ich gerade zu 4. Jetzt hast du meinen Hinweis korrekt gezeigt. Als Korrektor würde ich dir jetzt Punkte abziehen, weil die eigentliche Behauptung fehlt zu 5. Hier hast du bisher auch nur die halbe Miete, aber den Fall f(i)=i schaffst du bestimmt auch.

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